Question

【題目】定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么稱這樣的三角形為“類直角三角形”．

嘗試運(yùn)用

（1）如圖1，在中，，，，是的平分線．

①證明是“類直角三角形”；

②試問在邊上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得也是“類直角三角形”？若存在，請(qǐng)求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

類比拓展

（2）如圖2，內(nèi)接于，直徑，弦，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)，），延長至點(diǎn)，連結(jié)，且，當(dāng)是“類直角三角形”時(shí)，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析，②存在，；（2）或．

【解析】

（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問題．
②如圖1中，假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)D），使得△ABE是“類直角三角形”．證明△ABC∽△BEC，可得，由此構(gòu)建方程即可解決問題．
（2）分兩種情形：①如圖2中，當(dāng)∠ABC+2∠C=90°時(shí)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FA，FB．則點(diǎn)F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如圖3中，由①可知，點(diǎn)C，A，F共線，當(dāng)點(diǎn)E與D共線時(shí)，由對(duì)稱性可知，BA平分∠FBC，可證∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．

（1）①證明：如圖1中，

∵是的角平分線，

∴，

∵，∴，

∴，

∴為“類直角三角形”．

②如圖1中，假設(shè)在邊設(shè)上存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得是“類直角三角形”．在

中，∵，，

∴，

∵，

∴，

∵

∴，∴，

∴，

∴，

（2）∵是直徑，∴，∵，，∴，

①如圖2中，當(dāng)時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．則點(diǎn)在上，且，

∵，且，∴，∴，，共線，

∵∴，∴，∴，即

∴．

②如圖3中，由①可知，點(diǎn)，，共線，當(dāng)點(diǎn)與共線時(shí)，由對(duì)稱性可知，平分，

∴，∵，，∴，

∴，即，∴，且中

解得

綜上所述，當(dāng)是“類直角三角形”時(shí)，的長為或．