Question

如圖，已知拋物線經過A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；
（3）若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．
①求S與m的函數關系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）+；（3）①，②當m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標為（﹣2，2）．

試題分析：（1）把A、B的坐標代入拋物線的解析式即可；
（2）作B關于對稱軸的對稱點A，連結AC交對稱軸于P，點P就是所求的點；△PBC得周長就是AC+BC；
（3）①求出直線AD的解析式，由點E的橫坐標為m，可以表示出點E的縱坐標；由于F的橫坐標也是m，點F在拋物線上，所以可以用m表示出F的縱坐標，由S_△ADF =S_△DEF+S_△AEF即可求出S關于m的表達式；
②把①中的函數表達式化為頂點式，即可求出最大值和點E的坐標．
試題解析：（1）由題意可知：，解得：，∴拋物線的解析式為：；
（2）∵，∴C（0，3）．∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，BC是定值，∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小，∵如圖1，點A、點B關于對稱軸l對稱，∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點．∵AP=BP，∴△PBC的周長最小值是：PB+PC+BC=AC+BC．∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=，BC=；∴△PBC的周長最小值=+．

（3）如圖2，①∵拋物線頂點D的坐標為（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直線AD的解析式為，∵點E的橫坐標為m，∴E（m，2m+6），F（m，），
∴EF==，
∴S=S_△DEF+S_△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH==；

②=；∴當m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標為（﹣2，2）．