Question

【題目】如圖，△ABC 是邊長(zhǎng)為 6 cm 的等邊三角形，P 從點(diǎn) A 岀發(fā)沿 AC 邊向 C 運(yùn)動(dòng)， 與此同時(shí) Q 從 B 出發(fā)以相同的速度沿 CB 延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng) P 到達(dá) C 點(diǎn)時(shí)，P、Q 停止運(yùn)動(dòng)， 連接 PQ 交 AB 于 D

（1）設(shè) P、Q 的運(yùn)動(dòng)速度為 1 cm/s，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，∠BQD＝30°？

（2）過 P 作 PE⊥AB 于 E，在運(yùn)動(dòng)過程中線段 ED 的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段 ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】(1) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s;(2) ED 的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，DE=3.

【解析】

(1) 根據(jù)三角形內(nèi)角和為180, 可知△PQC為直角三角形, 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出AP的長(zhǎng)后可得時(shí)間.

(2) 根據(jù)全等三角形的角角邊判定定理可得,Rt△ABE≌Rt△BQF,再由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可知:AE=BF,EP=QF, 因?yàn)?/span>EP//QF, 可知四邊形EPFQ是平行四邊形, 根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得: DE=EF.EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB., 由于△ABC是不變的, AB是定長(zhǎng), 即可證明當(dāng)點(diǎn)P、 Q運(yùn)動(dòng)時(shí), 線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.

解：(1)△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,∠ACB=60.

∠BQD=30,∠QPC=90.

設(shè)AP=x,則PC=6-x,QB=x,

QC=QB+BC=6+x，PC=AC-AP=6-x，

在Rt△QCP中, ∠BQD=30,

PC=QC,即6-x= (6+x),

解得x=2，

又 P、Q 的運(yùn)動(dòng)速度為 1 cm/s，

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s；

(2) 當(dāng)點(diǎn)P、 Q運(yùn)動(dòng)時(shí), 線段ED的長(zhǎng)度不會(huì)改變.理由如下:作QF⊥AB, 交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接QE,PF.

PE⊥AB于E,∠DFQ=∠AEP=90.

點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同,AP=BQ.

△ABC是等邊三角形,

∠A=∠ABC=∠FBQ=60.

在△APE和△BQF中,

∠A=∠FBQ,AP=BQ,∠AEP=∠BFQ=90,

△APE≌△BQF (AAS).

AE=BF,PE=QF且PE∥QF.

四邊形PEQF是平行四邊形。

DE=EF.

EB+AE=BE+BF=AB,

DE=AB.

又等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6, DE=3.

當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí), 線段ED的長(zhǎng)度不會(huì)改變.