Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以邊上AC上一點O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點D，并與邊AC相交于另一點F．

（1）求證：BD是⊙O的切線．

（2）若AB=，E是半圓上一動點，連接AE，AD，DE．

填空：

①當(dāng)的長度是　 　時，四邊形ABDE是菱形；

②當(dāng)的長度是　 　時，△ADE是直角三角．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①π；②π或π.

【解析】試題分析：（1）首先連接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點D，易得AB=BD，繼而證得∠ODB=∠BAC=90°，即可證得結(jié)論；

（2）①易得當(dāng)DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度數(shù)，半徑OD的長，則可求得答案；

②分別從∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．

試題解析：（1）證明：如圖1，連接OD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，

∴AB=BC，

∵D是BC的中點，

∴BD=BC，

∴AB=BD，

∴∠BAD=∠BDA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODB=∠BAO=90°，

即OD⊥BC，

∴BD是⊙O的切線．

（2）①當(dāng)DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形；

如圖2，設(shè)DE交AC于點M，連接OE，則DE=2DM，

∵∠C=30°，

∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，

∵∠BAC=90°，

∴DE∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵AB=BD，

∴四邊形ABDE是菱形；

∵AD=BD=AB=CD=BC=，

∴△ABD是等邊三角形，OD=CDtan30°=1，

∴∠ADB=60°，

∵∠CDE=90°﹣∠C=60°，

∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°，

∴∠AOE=2∠ADE=120°，

∴的長度為： = ；

故答案為： ；

②若∠ADE=90°，則點E與點F重合，此時的長度為： =π；

若∠DAE=90°，則DE是直徑，則∠AOE=2∠ADO=60°，此時的長度為： =π；

∵AD不是直徑，

∴∠AED≠90°；

綜上可得：當(dāng)的長度是π或π時，△ADE是直角三角形．

故答案為： π或π．