Question

如圖，⊙E的圓心E(3，0)，半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(點A在點B的上方)，與x軸的正半軸相交于點C；直線l的解析式為y＝x＋4，與x軸相交于點D；以C為頂點的拋物線經(jīng)過點B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系，并說明理由；

(3) 動點P在拋物線上，當(dāng)點P到直線l的距離最小時，求出點P的坐標(biāo)及最小距離.

Answer 1

1)解：連接AE.

   由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，

   在Rt△AOE中，由勾股定理得，

   OA＝＝＝4.

  ∵OC⊥AB，

∴由垂徑定理得，OB＝OA＝4.

OC＝OE＋CE＝3＋5＝8.

   ∴A(0，4)，B(0，－4)，C(8，0).

   ∵拋物線的頂點為點C，

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－8)².

將點B的坐標(biāo)代入上解析式，得

64 a＝－4.  故 a＝－.

∴ y＝－(x－8)².

∴ y＝－x ²＋x－4 為所求拋物線的解析式.

(2) 在直線l的解析式y＝x＋4中，令y＝0，得＝x＋4＝0，解得 x＝－，

∴點D的坐標(biāo)為(－，0)；

當(dāng)x＝0時，y＝4，所以點A在直線l上.

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵ ＝，＝，∴  ＝.

∵ ∠AOE＝∠DOA＝90°，∴ △AOE∽△DOA. ∴ ∠AEO＝∠DAO.

∵∠AEO＋∠EAO＝90°，∴ ∠DAO＋∠EAO＝90°. 即 ∠DAE＝90°.

因此，直線l與⊙E相切于點A.  

(3)過點P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q；過點P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點M.

 設(shè)M(m，m＋4)，P(m，－m ²＋m－4). 則

PM＝m＋4－(－m ²＋m－4)＝m ²－m＋8＝(m－2)²＋.

當(dāng)m＝2時，PM取得最小值.

此時，P(2，－).

對于△PQM，∵ PM⊥x軸，∴ ∠QMP＝∠DAO＝∠AEO. 又∵∠PQM＝90°，

∴ △PQM的三個內(nèi)角固定不變.

∴ 在動點P運動的過程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變.

∴ 當(dāng)PM取得最小值時，PQ也取得最小值.

PQ_最小＝PM_最小·sin∠QMP＝PM_最小·sin∠AEO＝×＝.

所以，當(dāng)拋物線上的動點P的坐標(biāo)為 (2，－)時，點P到直線l的距離最小，其最小距離為