Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=，AB=4，CD=2．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，且以E、A、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若過(guò)B點(diǎn)的直線把這個(gè)四邊形的面積分成相等的兩部分，求該直線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接PB、PA，是否存在△PAC是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴OB=（AB-CD）=×（4-2）=1，則 B（-1，0）；
∴OA=AB-OB=3，即 A（3，0）．
在Rt△OBC中，OC===3，則 C（0，3）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入C點(diǎn)坐標(biāo)，得：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1
∴拋物線的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）若以E、A、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：
①當(dāng)ECAD時(shí)，CD=AE=2，OE=OA-AE=1，則E（1，0），如圖（2）-①；
取平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)F，則F（1.5，1.5）；
設(shè)直線BF的解析式為：y=kx+b，則：
，解得
∴該直線的函數(shù)表達(dá)式：y=x+；
②當(dāng)ACDE，CD=AE=2，OE=OA+AE=5，則E（5，0），如圖（2）-②；
取EC的中點(diǎn)G（2.5，1.5），同①可求得直線BG：y=x+；
綜上，符合條件的直線有兩條，且函數(shù)表達(dá)式為：y=x+或y=x+．

（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，分三種情況：
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，AC、AP₁為直角邊，如右圖；
∵OA=OC=3，
∴△OAC是等腰直角三角形，即∠OAC=45°；
∴∠MAP₁=45°，即△MAP₁也為等腰直角三角形，且MA=MP₁=2；
∴P₁（1，-2）；
②以C為直角頂點(diǎn)，AC、CP₂為直角邊，如右圖；
同①可求得△CP₂N、△CHN、△CP₂H都是等腰直角三角形，
∴P₂H=HN=CH=1，則P₂M=3+1=4，即P₂（1，4）．
③以AC為斜邊，AP₃、CP₃為直角邊，如右圖；
設(shè)點(diǎn)P₃（1，m），則：
AP₃²=（1-3）²+（m-0）²=m²+4、CP₃²=（1-0）²+（m-3）²=m²-6m+10、AC²=25；
由勾股定理得：AP₃²+CP₃²=AC²，即：
m²+4+m²-6m+10=18，化簡(jiǎn)，得：m²-3m-2=0
解得：m=
∴P₃（1，）
綜上，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為：P（1，-2），（1，4），（1，），（1，）．
分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)以及AB、CD的線段長(zhǎng)，先求出OB以及A、B點(diǎn)的坐標(biāo)；在Rt△OBC中，BC、OB長(zhǎng)已知，由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；在明確A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法即可求出該拋物線的解析式．
（2）由于點(diǎn)E在x軸上，若“以E、A、D、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形”，那么要分兩種情況考慮：
①ECAD，此時(shí)AC為平行四邊形的對(duì)角線；②ACED，此時(shí)EC為平行四邊形的對(duì)角線．
若過(guò)B的直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分，那么該直線必過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，因此取對(duì)角線AC或EC的中點(diǎn)，結(jié)合B點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線的解析式．
（3）若△PAC是直角三角形，那么需要分三種情況考慮：①C為直角頂點(diǎn)、AC作直角邊；②A為直角頂點(diǎn)、AC作直角邊；③AC為斜邊，以P作直角頂點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：該題考查的內(nèi)容較為復(fù)雜，涉及了函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的性質(zhì)、圖形面積的解法、直角三角形的判定、勾股定理的應(yīng)用等重點(diǎn)知識(shí)；后兩個(gè)小題需要考慮的情況較多，需要牢固掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，在解題過(guò)程中，要注意數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．