Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點．反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象經(jīng)過第一象限的點A，點A的縱坐標是橫坐標的

3

2

倍．
（1）求點A的坐標；
（2）如果經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與x軸的負半軸交于點B，AC⊥x軸于點C，若△ABC的面積為9，求這個一次函數(shù)的解析式．
（3）點D在反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象上，且點D在直線AC的右側(cè)，作DE⊥x軸于點E，當△ABC與△CDE相似時，求點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A的縱坐標是橫坐標的

3

2

倍，假設出A點坐標，進而將A點代入反比例函數(shù)解析式即可求出；
（2）根據(jù)A點坐標以及△ABC的面積為9，利用直角三角形面積求法得出B點坐標，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（3）利用當△ABC∽△DCE時以及當△ABC∽△CDE時分別利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式求出即可．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

6

x

的圖象經(jīng)過第一象限的點A，點A的縱坐標是橫坐標的

3

2

倍，
∴設A點坐標為：（x，

3

2

x），
∴x•

3

2

x=6，
解得：x=2或x=-2（不合題意舍去），
∴點A的坐標為：（2，3）；

（2）∵點A的坐標為：（2，3），AC⊥x軸于點C，
∴AC=3，CO=2，
∵△ABC的面積為9，
∴

1

2

×AC×BC=

1

2

（BO+2）×3=9，
解得：BO=4，
故B點坐標為：（-4.0），
將A，B兩點代入y=kx+b得：

-4k+b=0 2k+b=3

，
解得：

k= 1 2 b=2

，
故這個一次函數(shù)的解析式為：y=

1

2

x+2；

（3）設D點的坐標為（x，y）
∵反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

，
∴DE=y=

6

x

，EC=x-2，
當△ABC∽△DCE時，
則

AC

DE

=

BC

EC

，
即

3

6 x

=

6

x-2

，
解得：x₁=1+

13

，x₂=1-

13

（不合題意舍去），
故y=

6

1+ 13

=

13 -1

2

，
則D點坐標為：（1+

13

，

13 -1

2

），
當△ABC∽△CDE時，
則

AC

CE

=

BC

DE

，
即

3

x-2

=

6

6 x

，
解得：x₁=3，x₂=-1（不合題意舍去），
故y=

6

3

=2，
則D點坐標為：（3，2），
綜上所述：D點坐標為：（1+

13

，

13 -1

2

），（3，2）．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的綜合應用，根據(jù)已知表示出D點坐標是解題關(guān)鍵．