Question

【題目】如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．

（1）在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，則D點(diǎn)的坐標(biāo)；E點(diǎn)的坐標(biāo) ．
（2）如圖②，若AE上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、E重合）自A點(diǎn)沿AE方向向E點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜5），過(guò)P點(diǎn)作ED的平行線交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作AE的平行線交DE于點(diǎn)N．求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；t取何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，以A、M、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)時(shí)刻點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）（0,2.5）,（2,4）
（2）解：∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴PM：ED=AP：AE，

∴PM= ，

又∵AP=t，ED=2.5，AE=5，

∴PM= = t，

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四邊形NMPE為平行四邊形．

又∵∠DEA=90°，

∴四邊形PMNE為矩形．

∴S矩形PMNE=PMPE= t（5﹣t）=﹣ t2+ t．

∴S矩形PMNE=﹣ （t﹣ ）2+ ，

又∵0＜ ＜5．

∴當(dāng)t= 時(shí)，S矩形PMNE有最大值 ．

（3）解：（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點(diǎn)，

∴t=AP= AE=2.5．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點(diǎn)．

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF= OD= ，OF= OA=2.5，

∴當(dāng)t=2.5時(shí)，（0＜2.5＜5），△AME為等腰三角形．

此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5，1.25）．

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD= = ．

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴AP：AE=AM：AD．

∴t=AP= =2 ．

∴PM= t= ．

∴MF=MP= ，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2 ，

∴當(dāng)t=2 時(shí)，（0＜2 ＜5），此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（5﹣2 ， ）．

（Ⅲ）根據(jù)圖形可知EM=EA的情況不成立．

綜合綜上所述，當(dāng)t=2.5或t=2 時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）或（5﹣2 ， ）．

【解析】解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱軸，

∵在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4，BE= =3．

∴CE=2．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD=2.5．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2.5）．

所以答案是：（0，2.5），（2，4）；

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．