Question

如圖，已知點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，且OA=OB=3

2

，點(diǎn)C的坐標(biāo)是C(

7

2

2

，

7

2

2

)，AB與OC相交于點(diǎn)G．點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度從O運(yùn)動(dòng)到C，過P作直線EF∥AB分別交OA，OB于E，F(xiàn)．解答下列問題：
（1）直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)和直線AB的解析式．
（2）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，直線EF在四邊形OACB內(nèi)掃過的面積為s，請求出s與t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，直線EF平分四邊形OACB的面積．
（3）設(shè)線段OC的中點(diǎn)為Q，P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，求當(dāng)t為何值時(shí)，△EFQ為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB與OC相交于點(diǎn)G，以及C點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等得出G點(diǎn)坐標(biāo)為AB中點(diǎn)，即可得出答案，再利用A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出解析式即可；
（2）分別根據(jù)當(dāng)0＜t≤3時(shí)，當(dāng)3＜t＜7時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得出s與t的關(guān)系時(shí)即可．
（3）利用①當(dāng)P在線段OQ上，且∠EQF=90°時(shí)，以及②當(dāng)P在線段CQ上，且∠EQF=90°時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）G點(diǎn)的坐標(biāo)是G(

3

2

2

，

3

2

2

)，
∵OA=OB=3

2

，得出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，
分別為：（3

2

，0），（0，3

2

），
代入y=kx+b，

0=3 2 k+b b=3 2

，
解得：

k=-1 b=3 2

，
即可得出直線AB的解析式為：y=-x+3

2

…（2分）；

（2）∵C的坐標(biāo)是C(

7

2

2

，

7

2

2

)，
∴OC是∠AOB的角平分線.OC=

( 7 2 2 )2+( 7 2 2 )2

=7，
又∵OA=OB=3

2

，
∴AB=

(3 2 )2+(3 2 )2

=6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3，
①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=

1

2

•EF•OP=

1

2

•2t•t=t²…（5分），
②當(dāng)3＜t＜7時(shí)，OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴

EF

BA

=

CP

CG

，
即

EF

6

=

7-t

4

，
∴EF=

3

2

(7-t)，
∴S=S_{四邊形OACB}-S_△CEF=

1

2

•AB•CO-

1

2

EF•CP，
=

1

2

×6×7-

1

2

×

3

2

（7-t）（7-t），
=-

3

4

t2+

21

2

t-

63

4

，
∴s與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=

t2(0＜t≤3) - 3 4 t2+ 21 2 t- 63 4 (3＜t＜7)

…（7分）
當(dāng)直線EF平分四邊形OABC的面積時(shí)有：-

3

4

t2+

21

2

t-

63

4

=

1

2

×

1

2

×6×7，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：x1=7+

14

＞7（不符合題意舍去）； x2=7-

14

∴當(dāng)t=7-

14

時(shí)，直線EF平分四邊形OABC的面積．…（8分）

（3）①如圖1，當(dāng)P在線段OQ上，且∠EQF=90°時(shí)，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四邊形OEQF是正方形，
∴OP=

1

2

OQ=

1

2

×

7

2

=

7

4

，
即t=

7

4

時(shí)，△EFQ為直角三角形，
②如圖2，當(dāng)P在線段CQ上，且∠EQF=90°時(shí)，
同理可證：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EF=2PQ=2(t-

7

2

)，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴

EF

BA

=

CP

CG

，
即

2(t- 7 2 )

6

=

7-t

4

，
解得：t=5，
∴當(dāng)t=

7

4

或t=5時(shí)，△EFQ為直角三角形．…（12分）

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊之間關(guān)系得出t的值是解題關(guān)鍵．