Question

【題目】一般地，對(duì)于已知一次函數(shù)y1=ax+b，y2=cx+d（其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac＜0），定義一個(gè)新函數(shù)y=，稱y是y1與y2的算術(shù)中項(xiàng)，y是x的算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)．

（1）如：一次函數(shù)y1=x﹣4，y2=﹣x+6，y是x的算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)，即y=．

①自變量x的取值范圍是　 　，當(dāng)x=　 　時(shí)，y有最大值；

②根據(jù)函數(shù)研究的途徑與方法，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表，并在圖1中描點(diǎn)、連線，畫(huà)出此函數(shù)的大致圖象；

x	8	9	10	12	13	14	16	17	18
y	0	1.2	1.6		2.04	2		1.2	0

③請(qǐng)寫(xiě)出一條此函數(shù)可能有的性質(zhì)　 　；

（2）如圖2，已知一次函數(shù)y1=x+2，y2=﹣2x+6的圖象交于點(diǎn)E，兩個(gè)函數(shù)分別與x軸交于點(diǎn)A，C，與y軸交于點(diǎn)B，D，y是x的算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)，即y=．

①判斷：點(diǎn)A、C、E是否在此算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)的圖象上；

②在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)，到此算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的距離相等，如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】①8≤x≤18，13；②2，1.7，畫(huà)圖見(jiàn)解析；③8＜x＜13時(shí)，y隨x的增大而增大和13＜x＜18時(shí)，y隨x的增大而減小（答案不唯一）；（2）①點(diǎn)A、C、E在此算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)的圖象上；②存在，（﹣，0）

【解析】

（1）①轉(zhuǎn)化為二次不等式求出c的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．

②把x=12，x=16代入函數(shù)解析式求函數(shù)值即可，利用描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象即可．

③觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出函數(shù)的性質(zhì)即可．

（2）①求出A，C，E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法判斷即可．

②不存在，首先根據(jù)A，E，C確定這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后取x=0，求出算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證即可．

解：（1）①由題意（x﹣4）（﹣x+6）≥0，

解得8≤x≤18，

∵y=，

∵﹣＜0，

∴x=13時(shí)，y有最大值，最大值為．

故答案為8≤x≤18，13．

②x=12時(shí)，y==2，

x=16時(shí)，y=≈1.7

故答案為2，1.7．

函數(shù)圖象如圖所示：

③性質(zhì)：8＜x＜13時(shí)，y隨x的增大而增大和13＜x＜18時(shí)，y隨x的增大而減�。�

故答案為：8＜x＜13時(shí)，y隨x的增大而增大和13＜x＜18時(shí)，y隨x的增大而減小（答案不唯一）；

（2）①由題意E（，），A（﹣4，0），C（3，0），

對(duì)于函數(shù)y=，

當(dāng)x=時(shí)，y=，

∴點(diǎn)E在這個(gè)函數(shù)的圖象上，

當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=0，

∴點(diǎn)A在這個(gè)函數(shù)的圖象上，

當(dāng)x=3時(shí)，y=0，

∴點(diǎn)C在這個(gè)函數(shù)的圖象上．

②不存在，由圖2可知，∵AE⊥EC，

∴∠AEC=90°，

到A，C，E距離相等的點(diǎn)是AC的中點(diǎn)T（﹣，0），這個(gè)距離是3.5，

∵算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)圖象上的點(diǎn)P[x，]，

PT=，

∴存在這樣的點(diǎn)（﹣，0）到此算術(shù)中項(xiàng)函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的距離相等．