Question

（2013•綿陽(yáng)）如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線y=

k

x

（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．
（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求出k的值，再由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，可求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，繼而得出答案；
（2）證明∠GED=∠CDF，然后利用兩角法可判斷△EGD∽△DCF，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（

k

2

，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，

k

4

），即可得CF=

k

4

，BF=DF=2-

k

4

，在Rt△CDF中表示出CD，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出k的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OA=2，AB=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2），
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y=

k

x

，可得k=4，
即反比例函數(shù)解析式為：y=

4

x

，
∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)=

4

4

=1，
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）；


（2）由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，
∴∠CDF=∠GED，
又∵∠EGD=∠DCF=90°，
∴△EGD∽△DCF，
結(jié)合圖形可設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（

k

2

，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，

k

4

），
則CF=

k

4

，BF=DF=2-

k

4

，ED=BE=AB-AE=4-

k

2

，
在Rt△CDF中，CD=

DF2-CF2

=

(2- k 4 )2-( k 4 )2

=

4-k

，
∵

CD

GE

=

DF

ED

，即

4-k

2

=

2- k 4

4- k 2

，
∴

4-k

=1，
解得：k=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，解答本題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，用含k的式子表示出其他各點(diǎn)的坐標(biāo)，注意掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，難度較大．