【題目】如圖①，等邊三角形的邊長為2，是邊上的任一點(與不重合)，設(shè)，連接，以為邊向兩側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，分別與邊交于點．

(1)求證：；

(2)求四邊形與△ABC重疊部分的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式及的最小值；

(3)如圖②，連接，分別與邊交于點．當為何值時，．

【答案】（1）證明見解析；（2）；的最小值為；（3）當時，．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，據(jù)此通過證明△ADM和△APN全等后利用全等三角形性質(zhì)證明結(jié)論即可；

（2）作于點，首先結(jié)合（1）中結(jié)論得出四邊形與△ABC重疊部分四邊形的面積的面積，之后利用勾股定理以及三角函數(shù)的概念求出△ADP的面積，由此進一步分析求解即可；

（3）連接PG，利用菱形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)進一步進行計算即可.

(1)證明：∵△ABC，△APD，△APE都是等邊三角形，

∴，

∴．

在△ADM和△APN中，

∵

∴△ADM△APN(ASA)，

∴；

(2)如圖，作于點．

∵△ADM△APN

∴四邊形與△ABC重疊部分四邊形的面積的面積．

∵，，

∴，，

∴，

由勾股定理，得，

∵是等邊三角形，

∴△ADP的面積=，

即：，

∴的最小值為；

(3)連接，如圖：

當時，

∵，

∴．

易知四邊形是菱形，

∴．

∴，

∴．

∴．

∵，

∴，，

∴．

解得．

∴當時，．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（新知探究）新定義：平面內(nèi)兩定點 A, B ，所有滿足 k ( k 為定值)的 P 點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，

（問題解決）如圖，在ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，則ABC 面積的最大值為_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】七年級同學(xué)最喜歡看哪一類課外書？某校隨機抽取七年級部分同學(xué)對此進行問卷調(diào)査（每人只選擇一種最喜歡的書籍類型）．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅統(tǒng)計圖（不完整）．請根據(jù)統(tǒng)計圖信息，解答下列問題：

（1）一共有多少名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查；

（2）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中“其他”所在扇形的圓心角度數(shù)；

（3）若該年級有400名學(xué)生，請你估計該年級喜歡“科普常識”的學(xué)生人數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，點在軸上，以為直徑作，點在軸上，且在點上方，過點作的切線，為切點，如果點在第一象限，則稱為點的離點．例如，圖1中的為點的一個離點．

（1）已知點，為的離點．

①如圖2，若，則圓心的坐標為__________，線段的長為__________；

②若，求線段的長；

（2）已知，直線．

①當時，若直線上存在的離點，則點縱坐標的最大值為__________；

②記直線在的部分為圖形，如果圖形上存在的離點，直接寫出的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點，頂點為，連接，與拋物線的對稱軸交于點，點為線段上的一個動點（不與，兩點重合），過點作軸的垂線交拋物線于點，設(shè)點的橫坐標為

（1）當為何值時，四邊形為平行四邊形；

（2）設(shè)的面積為，求的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦且與AB交于點E（E不與O重合），CE＝DE，點F在弧AD上，連接AD、CF、DF，CF交AB于點H，交AD于點G．

（1）如圖1，求證：∠CFD＝2∠BAD；

（2）如圖2，過點B作BN⊥CF于點N，交⊙O于點M，求證：FN＝CN+DF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長CF至點Q，連接QA并延長交BM的延長線于點P，若∠Q＝∠ADF，HE＝BE，AQ＝2DG＝10，求線段PN的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用水平線和豎起線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．設(shè)格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)和為a，內(nèi)部的格點個數(shù)為b，則（史稱“皮克公式”）．

小明認真研究了“皮克公式”，并受此啟發(fā)對正三角開形網(wǎng)格中的類似問題進行探究：正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，下圖是該正三角形格點

中的兩個多邊形：

根據(jù)圖中提供的信息填表：


格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)

格點邊多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)

格點多邊形的面積

多邊形1

8

1


多邊形2

7

3


…

…

…

…

一般格點多邊形

a

b

S

則S與a、b之間的關(guān)系為S=　 　（用含a、b的代數(shù)式表示）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（感知）如圖1，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段，過點作軸，垂足為點，易知，得到點的坐標為．

（探究）如圖2，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段．

（1）求點的坐標．（用含的代數(shù)式表示）

（2）求出BC所在直線的函數(shù)表達式．

（拓展）如圖3，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸上，將線段繞著點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至線段，連結(jié)、，則的最小值為_______．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A，B兩點，B點坐標為(4,0)，與y軸交于點C(0,4).點D為拋物線上一點

(1)求拋物線的解析式及A點坐標；

(2)若△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，求點D的坐標；

(3)若△BCD是銳角三角形,請直接寫出點D的橫坐標m的取值范圍 .

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