【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,B、C兩點的坐標(biāo)分別為B(0,3)和C(0,﹣),點A在x軸正半軸上,且滿足∠BAO=30°.
(1)過點C作CE⊥AB于點E,交AO于點F,點G為線段OC上一動點,連接GF,將△OFG沿FG翻折使點O落在平面內(nèi)的點O′處,連接O′C,求線段OF的長以及線段O′C的最小值;
(2)如圖2,點D的坐標(biāo)為D(﹣1,0),將△BDC繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使得BC⊥AB于點B,將旋轉(zhuǎn)后的△BDC沿直線AB平移,平移中的△BDC記為△B′D′C′,設(shè)直線B′C′與x軸交于點M,N為平面內(nèi)任意一點,當(dāng)以B′、D′、M、N為頂點的四邊形是菱形時,求點M的坐標(biāo).
【答案】(1) ;(2)或或或
【解析】
(1)解直角三角形求出OF,CF,根據(jù)CO′≥CF﹣O′F求解即可.
(2)分四種情形:①如圖2中,當(dāng)B′D′=B′M=BD=時,可得菱形MND′B′.②如圖3中,當(dāng)B′M是菱形的對角線時.③如圖4中,當(dāng)B′D′是菱形的對角線時.④如圖5中,當(dāng)MD′是菱形的對角線時,分別求解即可解決問題.
(1)如圖1中,
∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,
∴∠CBE=60°,
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=90°,∠BCE=30°,
∵C(0,-),
∴OC=,OF=OCtan30°=,CF=2OF=3,
由翻折可知:FO′=FO=,
∴CO′≥CF-O′F,
∴CO′≥,
∴線段O′C的最小值為.
(2)①如圖2中,當(dāng)B′D′=B′M=BD=時,可得菱形MND′B′.
在Rt△AMB′中,AM=2B′M=2,
∴OM=AM-OA=2-3,
∴M(3-2,0).
②如圖3中,當(dāng)B′M是菱形的對角線時,由題意B′M=2OB=6,此時AM=12,OM=12-3,可得M(3-12,0).
③如圖4中,當(dāng)B′D′是菱形的對角線時,由∠D′B′M=∠DBO
可得,所以B′M=
則在RT△AM B′中,AM=2B′M=,所以OM=OA-AM=3-,所以M(3-,0).
④如圖5中,當(dāng)MD′是菱形的對角線時,MB′=B′D′=,可得AM=2,OM=OA+AM=3+2,所以M(3+2,0).
綜上所述,滿足條件的點M的坐標(biāo)為(3+2,0)或(3-12,0)或(3-,0)或(3+2,0).
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【題目】如圖,△ABC中,正方形DEFG的頂點D,G分別在AB,AC上,頂點E,F(xiàn)在BC上.若△ADG、△BED、△CFG的面積分別是1、3、1,則正方形的邊長為( )
A. B. C. 2 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車分別從相距420km的A、B兩地相向而行,乙車比甲車先出發(fā)1小時,兩車分別以各自的速度勻速行駛,途經(jīng)C地(A、B、C三地在同一條直線上).甲車到達(dá)C地后因有事立即按原路原速返回A地,乙車從B地直達(dá)A地,甲、乙兩車距各自出發(fā)地的路程y(千米)與甲車行駛所用的時間x(小時)的關(guān)系如圖所示,結(jié)合圖象信息回答下列問題:
(1)甲車的速度是 千米/時,乙車的速度是 千米/時;
(2)求甲車距它出發(fā)地的路程y(千米)與它行駛所用的時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)甲車出發(fā)多長時間后兩車相距90千米?請你直接寫出答案.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+5與雙曲線(x>0)相交于A,B兩點,與x軸相交于C點,△BOC的面積是.若將直線y=﹣x+5向下平移1個單位,則所得直線與雙曲線(x>0)的交點有( )
A. 0個B. 1個C. 2個D. 0個,或1個,或2個
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【題目】閱讀材料:一般情形下等式=1不成立,但有些特殊實數(shù)可以使它成立,例如:x=2,y=2時,=1成立,我們稱(2,2)是使=1成立的“神奇數(shù)對”.請完成下列問題:
(1)數(shù)對(,4),(1,1)中,使=1成立的“神奇數(shù)對”是 ;
(2)若(5﹣t,5+t)是使=1成立的“神奇數(shù)對”,求t的值;
(3)若(m,n)是使=1成立的“神奇數(shù)對”,且a=b+m,b=c+n,求代數(shù)式(a﹣c)2﹣12(a﹣b)(b﹣c)的最小值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象交于點A(3,1),且過點B(0,﹣2).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如果點P是x軸上一點,且△ABP的面積是3,求點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,DE∥AC交BA的延長線于點E.
(1)求證:BD=DE;
(2)若∠ACB=30°,BD=8,求四邊形BCDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx﹣5交y軸于點A,交x軸于點B(﹣5,0)和點C(1,0),過點A作AD∥x軸交拋物線于點D.
(1)求此拋物線的表達(dá)式;
(2)點E是拋物線上一點,且點E關(guān)于x軸的對稱點在直線AD上,求△EAD的面積;
(3)若點P是直線AB下方的拋物線上一動點,當(dāng)點P運動到某一位置時,△ABP的面積最大,求出此時點P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積.
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