Question

已知：AB是⊙O的弦，D是

AB

的中點(diǎn)，過B作AB的垂線交AD的延長線于C．
（1）求證：AD=DC；
（2）過D作⊙O的切線交BC于E，若DE=EC，求sinC．

Answer 1

分析：（1）連接BD，根據(jù)圓周角定理求出∠A=∠ABD，即AD=BD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)通過等量代換即可求出△BCD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答．
（2）連接OD交AB于F，根據(jù)切線的性質(zhì)可知OD⊥DE，由D是

AB

的中點(diǎn)可知AB⊥OD，四邊形FBED為矩形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出△BDC是等腰三角形，可求出BE=EC=DE，∠C=45°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可．

解答：（1）證明：連BD，
∵

BD

=

AD

，
∠A=∠ABD，
∴AD=BD；（2分）
∵∠A+∠C=90°，∠DBA+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC，
∴BD=DC，
∴AD=DC．（4分）

（2）解：連接OD交AB于F，
∵DE為⊙O切線，
∴OD⊥DE；（5分）
∵

BD

=

AD

，OD過圓心，
∴OD⊥AB；
又∵AB⊥BC，
∴四邊形FBED為矩形，
∴DE⊥BC；（6分）
又∵BD=DC，
∴BE=EC=DE，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴∠C=45°；（7分）
∴sinC=

2

2

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此類題目比較復(fù)雜，解答此類題目的關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)切線的性質(zhì)及圓周角定理解答．