Question

已知線段AB是⊙O的弦，點(diǎn)P是優(yōu)弧

AB

上一個動點(diǎn)（P不與A、B重合），直線l是∠APB的平分線．
（1）畫圖并證明：當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧

AB

上運(yùn)動時，∠APB的平分線l過定點(diǎn)Q；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧

AB

上運(yùn)動時，△APQ的面積能否取得最大值，如果能，請用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)P在⊙O上的位置；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠APQ=∠BPQ，根據(jù)圓周角定理得到弧AQ=弧BQ，即Q為弧AB的中點(diǎn)，為定點(diǎn)；
（2）由于AQ為定值，所以當(dāng)P到AQ的距離最大時，△APQ的面積取得最大值，則過圓心O作AQ的垂線交優(yōu)弧AB于P點(diǎn)．

解答：證明：（1）如圖，
∵∠APQ=∠BPQ，
∴弧AQ=弧BQ，
∴Q為弧AB的中點(diǎn)，
即∠APB的平分線過定點(diǎn)Q．

（2）能取得最大值．理由如下：
∵AQ為定值，
∴當(dāng)P到AQ的距離最大時，△APQ的面積取得最大值，
所以過圓心O作AQ的垂線交優(yōu)弧AB于P點(diǎn)．如圖．

點(diǎn)評：本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及它們對應(yīng)的兩條弧、兩條弦中有一組量相等，則另外兩組量也對應(yīng)相等．也考查了圓周角定理以及過一點(diǎn)作直線的垂線的方法．