Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE且交AG于點F．
（1）求證：AE=BF；
（2）如圖1，連接DF、CE，探究線段DF與CE的關(guān)系并證明；
（3）如圖2，若AB= ，G為CB中點，連接CF，直接寫出四邊形CDEF的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥AG于點E，BF∥DE且交AG于點F，

∴BF⊥AG于點F，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，

，

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴BF=AE

（2）證明：DF=CE且DF⊥CE．

理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，

∴∠FAD=∠EDC，

∵△AFB≌△DEA，

∴AF=DE，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

在△FAD和△EDC中，

，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCE+∠CDF=90°，

∴DF⊥CE

（3）3
【解析】（3）∵AB= ，G為CB中點， ∴BG= BC= ，
由勾股定理得，AG= = = ，
∵S△ABG= AGBF= ABBG，
∴ × BF= × × ，
解得BF= ，
由勾股定理得，AF= = = ，
∵△AFB≌△DEA，
∴AE=BF= ，
∴AE=EF= ，
∴DE垂直平分AF，
∴DF=AD= ，
由（2）知，DF=CE且DF⊥CE，
∴四邊形CDEF的面積= DFCE= × × =3．
所以答案是：3．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．