Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3a過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）．

（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）直線(xiàn)y＝x+4與y軸交于點(diǎn)B，與該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C．如果該拋物線(xiàn)與線(xiàn)段BC有交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣2；（2）a≥或a≤﹣2．

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得出b＝4a，則解析式為y＝ax2+4ax+3a，進(jìn)一步求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；

（2）結(jié)合圖形，分兩種情況：①a＞0；②a＜0；進(jìn)行討論即可求解．

（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3a過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），

∴a﹣b+3a＝0，

∴b＝4a，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2+4ax+3a，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣＝﹣2；

（2）∵直線(xiàn)y＝x+4與y軸交于點(diǎn)B，與該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C，

∴B（0，4），C（﹣2，2），

∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）且對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣2，

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)也一定過(guò)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（﹣3，0），

①a＞0時(shí)，如圖1，

將x＝0代入拋物線(xiàn)得y＝3a，

∵拋物線(xiàn)與線(xiàn)段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴3a≥4，

解得a≥，

②a＜0時(shí)，如圖2，

將x＝﹣2代入拋物線(xiàn)得y＝﹣a，

∵拋物線(xiàn)與線(xiàn)段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴﹣a≥2，

解得a≤﹣2；

綜上所述，a≥或a≤﹣2．