【題目】如圖,在ABC中,ACBCAB345,⊙O沿著ABC的內(nèi)部邊緣滾動一圈,若⊙O的半徑為1,且圓心O運動的路徑長為18,則ABC的周長為_____

【答案】30

【解析】

如圖,首先利用勾股定理判定△ABC是直角三角形,由題意得圓心O所能達到的區(qū)域是△DEG,且與△ABC三邊相切,設切點分別為GH、P、Q、M、N,連接DH、DG、EP、EQ、FM、FN,根據(jù)切線性質(zhì)可得:AGAH,PCCQ,BNBM,DG、EP分別垂直于ACEQ、FN分別垂直于BC,FMDH分別垂直于AB,繼而則有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH,從而可知DEGPEFQN,DFHM,DEGPDFHM,EFQN,∠PEF90°,根據(jù)題意可知四邊形CPEQ是邊長為1的正方形,根據(jù)相似三角形的判定可得DEFACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知:DEEFFDACCBBA345,進而根據(jù)圓心O運動的路徑長列出方程,求解算出DE、EF、FD的長,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得:GP、QNMH的長,根據(jù)切線長定理可設:AGAHx,BNBMy,根據(jù)線段的和差表示出AC、BC、AB的長,進而根據(jù)ACCBBA345列出比例式,繼而求出xy的值,進而即可求解ABC的周長.

ACCBBA345

AC3a,CB4aBA5aa0

∴△ABC是直角三角形,

設⊙O沿著ABC的內(nèi)部邊緣滾動一圈,如圖所示,

連接DE、EFDF,

設切點分別為G、H、P、Q、M、N

連接DH、DG、EP、EQ、FM、FN,

根據(jù)切線性質(zhì)可得:

AGAH,PCCQBNBM

DGEP分別垂直于AC,EQ、FN分別垂直于BCFM、DH分別垂直于AB,

DGEPEQFN,FMDH,

∵⊙O的半徑為1

DGDHPEQEFNFM1,

則有矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DFMH,

DEGP,EFQNDFHM,DEGP,DFHM,EFQN,PEF90°

又∵∠CPE=∠CQE90°, PEQE1

∴四邊形CPEQ是正方形,

PCPEEQCQ1,

∵⊙O的半徑為1,且圓心O運動的路徑長為18,

DE+EF+DF18,

DEAC,DFABEFBC

∴∠DEF=∠ACB,∠DFE=∠ABC,

∴△DEF∽△ABC,

DEEFDFACBCAB345

DE3kk0),則EF4k,DF5k,

DE+EF+DF18

3k+4k+5k18,

解得k

DE3k,EF4k6DF5k,

根據(jù)切線長定理,

AGAHx,BNBMy

ACAG+GP+CPx++1x+55,

BCCQ+QN+BN1+6+yy+7

ABAH+HM+BMx++yx+y+75,

ACBCAB345

∴(x+55):(y+7):(x+y+75)=345,

解得x2,y3,

AC75BC10,AB125,

AC+BC+AB30

所以ABC的周長為30

故答案為30

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