Question

【題目】問(wèn)題提出（1）如圖①，在△ABC中，BC＝6，D為BC上一點(diǎn)，AD＝4，則△ABC面積的最大值是　 　．

問(wèn)題探究（2）如圖②，已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為12，求矩形ABCD面積的最大值．

問(wèn)題解決（3）如圖③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意圖，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，現(xiàn)在他想利用周邊地的情況，把原來(lái)的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長(zhǎng)盡可能長(zhǎng)的四邊形地，用來(lái)建魚(yú)塘．已知葛叔叔欲建的魚(yú)塘是四邊形ABCD，且滿足∠ADC＝60°．你認(rèn)為葛叔叔的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，求出這個(gè)四邊形魚(yú)塘周長(zhǎng)的最大值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）9；（3）能實(shí)現(xiàn)；170（米）．

【解析】

（1）當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大．

（2）由題意矩形鄰邊之和為6，設(shè)矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

（3）由題意，AC＝100，∠ADC＝60°，即點(diǎn)D在優(yōu)弧ADC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧ADC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形魚(yú)塘面積和周長(zhǎng)達(dá)到最大值，此時(shí)△ACD為等邊三角形，計(jì)算出△ADC的面積和AD的長(zhǎng)即可得出這個(gè)四邊形魚(yú)塘面積和周長(zhǎng)的最大值．

（1）如圖①中，

∵BC＝6，AD＝4，

∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，最大值＝×6×4＝12．

故答案為12．

（2）∵矩形的周長(zhǎng)為12，

∴鄰邊之和為6，設(shè)矩形的一邊為m，另一邊為6﹣m，

∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，

∵﹣1＜0，

∴m＝3時(shí)，S有最大值，最大值為9．

（3）如圖③中，

∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，

∴AC2＝AB2+BC2

∴∠ABC＝90°，

作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙O，

∵∠ADC＝60°，

∴點(diǎn)D在優(yōu)弧ADC上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)D是優(yōu)弧ADC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABCD面積取得最大值，

設(shè)D′是優(yōu)弧ADC上任意一點(diǎn)，連接AD′，CD′，延長(zhǎng)CD′到F，使得D′F＝D′A，連接AF，則∠AFC＝30°＝∠ADC，

∴點(diǎn)F在D為圓心DA為半徑的圓上，

∴DF＝DA，

∵DF+DC≥CF，

∴DA+DC≥D′A+D′C，

∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，

∴此時(shí)四邊形ADCB的周長(zhǎng)最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．

答：這個(gè)四邊形魚(yú)塘周長(zhǎng)的最大值為170（米）．