Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-3）和點(diǎn)（-1，5）；
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示平移后函數(shù)圖象頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在第（2）小題的條件下，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象的平移，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答：解：（1）由二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-3）和點(diǎn)（-1，5），得

a+b=-3 a-b=5

，解得

a=1 b=-4

．
二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x²-4x；
（2）y=x²-4x的頂點(diǎn)M坐標(biāo)（2，-4），
這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，
頂點(diǎn)M坐標(biāo)向上平移m，即M（2，m-4）；
（3）由待定系數(shù)法，得CP的解析式為y=

3-m

2

x+m，
如圖：
作MG⊥PC于G，設(shè)G（a，

3-m

2

a+m）．
由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，
DM=MG．
在Rt△DCM和Rt△GCM中

DM=GM CM=CM

，

Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．
CG=DC=4，MG=DM=2，

a2+( 3-m 2 a)2=42 (2-a)2+(m-4- 3-m 2 a-m)2=22

，
化簡(jiǎn)，得8m=36，
解得m=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，圖象的平移方法；（3）利用了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)．