Question

【題目】如圖，AB∥CD，點A，E，B，C不在同一條直線上．

（1）如圖1，求證：∠E+∠C﹣∠A＝180°

（2）如圖2．直線FA，CP交于點P，且∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE．

①試探究∠E與∠P的數(shù)量關系；

②如圖3，延長CE交PA于點Q，若AE∥PC，∠BAQ＝α（0°＜α＜22.5°），則∠PQC的度數(shù)為　 　（用含α的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①∠E＝180°﹣3∠P，理由詳見解析；②180°﹣8α

【解析】

（1）如圖1，過E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質即可得到結論；

（2）①設∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），如圖2，過P作PG∥CD，根據(jù)平行線的性質即可得到結論；

②如圖3，過P作PG∥CD，根據(jù)平行線的性質即可得到結論．

解：（1）如圖1，過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠AEF＝∠A，∠C+∠FEC＝180°，

∴∠E＝∠AEF+∠FEC＝∠A+180°﹣∠C，

即∠E+∠C﹣∠A＝180°；

（2）①∵∠BAF＝∠BAE，∠DCP＝∠DCE，

∴設∠BAF＝x，∠BAE＝3x，∠DCP＝y，∠DCE＝3y，

由（1）知，∠E＝180°﹣∠C+∠A＝180°﹣3（y﹣x），

如圖2，過P作PG∥CD，

∵AB∥CD，

∴AB∥PG，

∴∠GPA＝∠BAF＝x，∠GPC＝∠PCD＝y，

∴∠APC＝y﹣x，

即∠E＝180°﹣3∠P；

②如圖3，過P作PG∥CD，

∵∠BAQ＝α，

∴∠QAE＝2α，

∵AE∥PC，

∴∠QAE＝∠APC＝2α，

由①知，∠AEC＝180°﹣3∠APC＝180°﹣6α，

∴∠PQC＝∠AEC﹣∠QAE＝180°﹣6α﹣2α＝180°﹣8α，

故答案為：180°﹣8α．