【題目】如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,直徑AB左側(cè)的半圓上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)E(不與點(diǎn)A、B重合),連結(jié)EB、ED.

(1)如果∠CBD=∠E,求證:BC是⊙O的切線(xiàn);
(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△EDB≌△ABD,并給予證明;
(3)在(1)的條件下,若tanE= ,BC= ,求陰影部分的面積.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)
(參考數(shù)值:π≈3.14, ≈1.41, ≈1.73)

【答案】
(1)

證明:∵AB為⊙O的直徑,

∴∠ADB=90°,

即∠ABD+∠BAD=90°.

又∵∠CBD=∠E,∠BAD=∠E,

∴∠ABD+∠CBD=90°,即∠ABC=90°.

∴BC⊥AB.

∴BC是⊙O的切線(xiàn).


(2)

證明:當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O位置時(shí),△EDB≌△ABD.證明如下:

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O位置時(shí),∠EBD=∠ADB=90°,

在△EDB與△ABD中,

∴△EDB≌△ABD(AAS).


(3)

解:如圖,連接OD,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F,

∵∠BAD=∠E,tanE=

∴tan∠BAD=

又∵∠ADB=90°,

∴∠BAD=30°.

∵∠ABC=90°,BC= ,

∴AB= =4.

∴AO=2,OF=1,AF=AOcos∠BAD=

∴AD=2

∵AO=DO,

∴∠AOD=120°.

∴S陰影=S扇形OAD﹣SAOD= ×3=2 ×1= π﹣ ≈2.5.


【解析】(1)欲證明BC是⊙O的切線(xiàn),只需證得BC⊥AB;(2)利用圓周角定理,全等三角形的判定定理AAS證得當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)O位置時(shí),△EDB≌△ABD;(3)如圖,連接OD,過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F.S陰影=S扇形OAD﹣SAOD . 由圓周角定理和正切三角函數(shù)定義易求AB的長(zhǎng)度、圓心角∠AOD=120°.所以根據(jù)扇形面積公式和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線(xiàn)的判定定理的相關(guān)知識(shí),掌握切線(xiàn)的判定方法:經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn),以及對(duì)扇形面積計(jì)算公式的理解,了解在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形;扇形面積S=π(R2-r2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.張強(qiáng)在體育場(chǎng)鍛煉45分鐘
B.張強(qiáng)家距離體育場(chǎng)是4千米
C.張強(qiáng)從離家到回到家一共用了200分鐘
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A.
B.
C.
D.

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B.8.9米
C.8.0米
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