Question

【題目】如圖，已知是⊙的直徑， 是⊙上一點(diǎn)，∠的平分線(xiàn)交⊙于點(diǎn)，交⊙的切線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）求證： 是⊙的切線(xiàn)；

（2）若．求值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題解析：試題分析：（1）作輔助線(xiàn)，連接OD．根據(jù)切線(xiàn)的判定定理，只需證DF⊥OD即可；
（2）①連接BD．根據(jù)BE、DF兩切線(xiàn)的性質(zhì)證明△BDE∽△ABE；又由角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的兩個(gè)底角相等求得△ABE∽△AFD，所以△BDE∽△AFD；最后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得；②連接OC，交AD于G，由①，設(shè)BE=2x，則AD=3x，由于△BDE∽△ABE，得到比例式求得AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到結(jié)果．

試題解析：（1）證明：如圖，連結(jié)OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAF=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴AF∥OD，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線(xiàn)，

（2）①連接BD，
∵直徑AB，
∴∠ADB=90°，
∵圓O與BE相切，
∴∠ABE=90°，
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°，
∴∠DAB=∠DBE，
∴∠DBE=∠FAD，
∵∠BDE=∠AFD=90°，
∴△BDE∽△AFD，
∴

②連接OC，交AD于G，
由①，設(shè)BE=2x，則AD=3x，
∵△BDE∽△ABE，∴，∴，
解得：x1=2，x2=-（不合題意，舍去），
∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8，
∴sin∠EAB=，
∴∠EAB=30°，
∴∠FAB=60°．