【題目】平面直角坐標系xOy中,點A、B分別在函數(shù)y1= (x>0)與y2=﹣ (x<0)的圖象上,A、B的橫坐標分別為a、b.

(1)若AB∥x軸,求△OAB的面積;
(2)若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形,且a+b≠0,求ab的值;
(3)作邊長為2的正方形ACDE,使AC∥x軸,點D在點A的左上方,那么,對大于或等于3的任意實數(shù)a,CD邊與函數(shù)y1= (x>0)的圖象都有交點,請說明理由.

【答案】
(1)

解:由題意知,點A(a, ),B(b,﹣ ),

∵AB∥x軸,

,

∴a=﹣b;

∴AB=a﹣b=2a,

∴SOAB= 2a =3


(2)

解:由(1)知,點A(a, ),B(b,﹣ ),

∴OA2=a2+( 2,OB2=b2+(﹣ 2,

∵△OAB是以AB為底邊的等腰三角形,

∴OA=OB,

∴OA2=OB2,

∴a2+( 2=b2+(﹣ 2

∴a2﹣b2=( 2﹣( 2,

∴(a+b)(a﹣b)=( + )( )= ,

∵a>0,b<0,

∴ab<0,a﹣b≠0,

∵a+b≠0,

∴1= ,

∴ab=3(舍)或ab=﹣3,

即:ab的值為﹣3;


(3)

解:對大于或等于3的任意實數(shù)a,CD邊與函數(shù)y1= (x>0)的圖象都有交點.

理由:如圖,

∵a≥3,AC=2,

∴直線CD在y軸右側且平行于y軸,

∴直線CD一定與函數(shù)y1= (x>0)的圖象有交點,

∵四邊形ACDE是邊長為2的正方形,且點D在點A(a, )的左上方,

∴C(a﹣2, ),

∴D(a﹣2, +2),

設直線CD與函數(shù)y1= (x>0)相交于點F,

∴F(a﹣2, ),

∴FC= = ,

∴2﹣FC=2﹣ =

∵a≥3,

∴a﹣2>0,a﹣3≥0,

≥0,

∴2﹣FC≥0,

∴FC≤2,

∴點F在線段CD上,

即:對大于或等于3的任意實數(shù)a,CD邊與函數(shù)y1= (x>0)的圖象都有交點.


【解析】(1)先判斷出a=﹣b,即可得出AB=2a,再利用三角形的面積公式即可得出結論;(2)利用等腰三角形的兩腰相等建立方程求解即可得出結論;(3)先判斷出直線CD和函數(shù)y1= (x>0)必有交點,根據(jù)點A的坐標確定出點C,F(xiàn)的坐標,進而得出FC,再判斷FC與2的大小即可.
【考點精析】通過靈活運用反比例函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的判定,掌握性質(zhì):當k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減; 當k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大;如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱:等角對等邊).這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等即可以解答此題.

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