【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,DE⊥AC,垂足為E,CF∥AB交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF交⊙O于點(diǎn)G,連接DG.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)求證:四邊形ABFC為菱形;
(3)若OA=5,DG=2,求線段GF的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)4.
【解析】
(1)如圖,連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBD=∠ODB,∠ABC=∠ACB,可證明∠ODB=∠ACB,可得OD//AC,根據(jù)DE⊥AC可得DE⊥AC,即可證明DE為⊙O的切線;
(2)由OD//AC,OA=OB可得BD=CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD=∠CFD,∠ABD=∠FCD,利用AAS可證明△ABD≌△FCD,可得AB=CF,可證明四邊形ABFC是平行四邊形,由AB=AC即可證明四邊形ABCF是菱形;
(3)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及平角的定義可得∠GDF=∠ABG,∠DGF=∠BAD,可證明△FGD∽△FAB,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠BAD=∠BFD,即可證明∠DGF=∠BFD,可得DG=DF,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出GF的長(zhǎng).
(1)連接OD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE為⊙O的切線.
(2)由(1)得,OD∥AC,
又∵OA=OB,
∴DB=DC,
∵CF∥AB,
∴∠BAD=∠CFD,∠ABD=∠FCD,
在△ABD和△ECD中,,
∴△ABD≌△FCD,
∴AB=CF,
∴四邊形ABFC為平行四邊形,
∵AB=AC,
∴平行四邊形ABFC為菱形.
(3)∵四邊形ABGD內(nèi)接于⊙O,
∴∠ABG+∠ADG=180°,∠BAD+∠BGD=180°,
∵∠GDF+∠ADG=180°,∠DGF+∠BGD=180°,
∴∠GDF=∠ABG,∠DGF=∠BAD,
∴△FGD∽△FAB,
∴,
∵AB為⊙O的直徑,OA=5,
∴AB=10,
∵四邊形ABFC為菱形,
∴∠BAD=∠BFD,AF=2DF,
∴∠DGF=∠BFD,
∴DF=DG=2,
∴AF=2DF,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B(﹣1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,則下列四個(gè)結(jié)論:①ac<0;②2a+b=0;③﹣1<x<3時(shí),y<0;④4a+c<0.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下,與的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示:
下列判斷,①;②;③方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
④若,則,正確的是________________(填寫(xiě)正確答案的序號(hào)) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,,分別為、上的點(diǎn),沿直線將折疊,使點(diǎn)B恰好落在上的處,當(dāng)恰好為直角三角形時(shí),的長(zhǎng)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),直線BD交拋物線于點(diǎn)D,并且,.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且在第三象限,順次連接點(diǎn)B、M、C,求面積的最大值;
(3)在(2)中面積最大的條件下,過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸,在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心,OQ為半徑且與直線AC相切的圓?若存在,求出圓心Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體的四個(gè)面上依次標(biāo)有數(shù)字-2,0,1,2,連續(xù)拋擲兩次,朝下一面的數(shù)字分別是a,b,將其作為M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),則點(diǎn)M(a,b)落在以A(6,0),B(2,0),C(0,2)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)(包含邊界)的概率是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C,D為圓上的兩點(diǎn),OC∥BD,弦AD,BC相交于點(diǎn)E.
(1)求證:;
(2)若CE=1,EB=3,求⊙O的半徑;
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PQ∥CB交⊙O于F,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)F在線段PQ上),求PQ的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】今年是我國(guó)建國(guó)70周年,回顧過(guò)去展望未來(lái),創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力,北京科技創(chuàng)新能力不斷增強(qiáng),下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了2010﹣2018年北京市每萬(wàn)人發(fā)明專(zhuān)利申請(qǐng)數(shù)與授權(quán)數(shù)的情況.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,下列推斷合理的是( 。
A. 2010﹣2018年,北京市毎萬(wàn)人發(fā)明專(zhuān)利授權(quán)數(shù)逐年增長(zhǎng)
B. 2010﹣2018年,北京市毎萬(wàn)人發(fā)明專(zhuān)利授權(quán)數(shù)的平均數(shù)超過(guò)10件
C. 2010年申請(qǐng)后得到授權(quán)的比例最低
D. 2018年申請(qǐng)后得到授權(quán)的比例最高
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一輛汽車(chē)油箱中有汽油.如果不再加油,那么油箱中的油量(單位:)隨行駛路程(單位:)的增加而減少.已知該汽車(chē)平均耗油量為.
(Ⅰ)計(jì)算并填寫(xiě)下表:
(單位:) | 10 | 100 | 300 | … |
(單位:) | … |
(Ⅱ)寫(xiě)出表示與的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量的取值范圍;
(Ⅲ)若,兩地的路程約有,當(dāng)油箱中油量少于時(shí),汽車(chē)會(huì)自動(dòng)報(bào)警,則這輛汽車(chē)在由地到地,再由地返回地的往返途中,汽車(chē)是否會(huì)報(bào)警?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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