Question

1．如圖1，已知拋物線y=-x²-4x+5交x軸于點A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接AD．
（1）求直線AD的解析式．
（2）點E（m，0）、F（m+1，0）為x軸上兩點，其中（-5＜m＜-3.5）EE′、FF′分別平行于y軸，交拋物線于點E′和F′，交AD于點M、N，當ME′+NF′的值最大時，在y軸上找一點R，使得|RE′-RF′|值最大，請求出點R的坐標及|RE′-RF′|的最大值．
（3）如圖2，在拋物線上是否存在點P，使得△PAC是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，請出點P的坐標及△PAC的面積，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的解析式求得點A、D的坐標，然后利用待定系數(shù)法來求直線AD的解析式即可；
（2）根據(jù)平行線的性質和函數(shù)圖象上點的坐標特征易得ME′+NF′=-m²-7m-10-m²-9m-18=2m²-16m-28；結合二次函數(shù)最值的求法和兩點間線段最短得到：要使|RE′-RF′|值最大，則點E′、F′、R三點在一條直線上，只需求得點E′、F′的坐標，利用待定系數(shù)法推知直線E′F′關系式，由該關系式來求點R的坐標即可；
（3）當PA=PC時，點P在線段AC的垂直平分線上，結合三角形的面積公式進行解答．

解答 解：（1）如圖1，∵y=-x²-4x+5=-（x+5）（x-1）或y=-（x+2）²+9，
∴A（-5，0），B（1，0），D（-2，9）．
設直線AD的解析式為：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{-2k+b=9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=15}\end{array}\right.$．
故直線AD的解析式為：y=3x+15；

（2）如圖1，∵EE′∥y軸，F(xiàn)F′∥y軸，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，-m²-4m+5）、F（m+1，-（m+1）²-4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=-m²-4m+5-（3m+15）=-m²-7m-10，NF′=-m²-9m-18，
∴ME′+NF′=-m²-7m-10-m²-9m-18=2m²-16m-28．
∵-2＜0，
∴m=-$\frac{-16}{2×（-2）}$=-4，
∴ME′+NF′有最大值，此時E′（-4，5），F(xiàn)′（-3，8），
要使|RE′-RF′|值最大，則點E′、F′、R三點在一條直線上，
∴設直線E′F′：y=kx+b（k≠0），則
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=8}\\{-4k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=17}\end{array}\right.$，
∴直線E′F′：y=3x+17（k≠0）．
當x=0時，y=17，則點R的坐標是（0，17）．
此時，|RE′-RF′|的最大值為$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（3）如圖2，設點P（x，-x²-4x+5）．
當PA=PC時，點P在線段AC的垂直平分線上，
∵OC=OA，
∴點O在線段AC的垂直平分線上，
∴點P在∠AOC的角平分線上，
∴-x=-x²-4x+5，
解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$，
∴P（$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$），P′（$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$）．
∴PH=OP-OH=$\frac{\sqrt{58}-2\sqrt{2}}{2}$，P′H=OP′+OH=$\frac{\sqrt{58}+2\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$AC•PH=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{58}-2\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{29}-10}{2}$或S_△PAC=$\frac{1}{2}$AC•P′H=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{58}+2\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{29}+10}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)最值的求法以及三角形的面積計算．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．