【題目】如圖,在△ABC中,點OAC邊上一動點,過點OBC的平行線交∠ACB的角平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F

(1)求證:EO=FO;

(2)當點O運動到何處時,四邊形CEAF是矩形?請證明你的結論。

(3)在第(2)問的結論下,若AE=3,EC=4AB=12,BC=13,請求出凹四邊形ABCE的面積.

【答案】(1)證明見解析(2)當點O運動到AC的中點時,四邊形CEAF是矩形(324

【解析】

1)根據平行線的性質與等腰三角形的性質即可證明;(2)當點O運動到AC的中點時,四邊形CEAF是矩形,由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半即可證明;(3)利用凹四邊形ABCE的面積=ABC的面積ACE的面積即可求解.

(1)證明:∵EFBC,

∴∠OEC=BCE,

CE平分∠ACB,

∴∠BCE=OCE,

∴∠OEC=OCE

EO=CO,

同理:FO=CO

EO=FO;

(2)當點O運動到AC的中點時,四邊形CEAF是矩形;理由如下:

(1)得:EO=FO

又∵OAC的中點,

AO=CO

∴四邊形CEAF是平行四邊形,

EO=FO=CO

EO=FO=AO=CO,

EF=AC,

∴四邊形CEAF是矩形;

(3)(2)得:四邊形CEAF是矩形,

∴∠AEC=90,

AC=AE2+EC2=5

ACE的面積=AE×EC=×3×4=6

122+52=132,

AB2+AC2=BC2,

∴△ABC是直角三角形,BAC=90,

∴△ABC的面積=ABAC=×12×5=30

∴凹四邊形ABCE的面積=ABC的面積ACE的面積=306=24;

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