【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,動點Q在邊AB上,連接CQ,將△BQC沿CQ所在的直線對折得到△CQN,延長QN交直線CD于點M.
(1)求證:MC=MQ
(2)當BQ=1時,求DM的長;
(3)過點D作DE⊥CQ,垂足為點E,直線QN與直線DE交于點F,且,求BQ的長.
【答案】(1)見解析;(2)2.5;(3)或2
【解析】
(1)由矩形的性質得出∠B=90°,AB=CD=6,CD∥AB,得出∠MCQ=∠CQB,由折疊的性質得出△CBQ≌△CNQ,求出BC=NC=4,NQ=BQ=1,∠CNQ=∠B=90°,∠CQN=∠CQB,得出∠CNM=90°,∠MCQ=∠CQN,證出MC=MQ.
(2)設DM=x,則MQ=MC=6+x,MN=5+x,在Rt△CNM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
(3)分兩種情況:①當點M在CD延長線上時,由(1)得:∠MCQ=∠CQM,證出∠FDM=∠F,得出MD=MF,過M作MH⊥DF于H,則DF=2DH,證明△MHD∽△CED,得出,求出MD=CD=1,MC=MQ=7,由勾股定理得出MN即可解決問題.
②當點M在CD邊上時,同①得出BQ=2即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴DC∥AB
即∠MCQ=∠CQB,
∵△BQC沿CQ所在的直線對折得到△CQN,
∴∠CQN=∠CQB,
即∠MCQ=∠MQC,
∴MC=MQ.
(2)∵四邊形ABCD是矩形,△BQC沿CQ所在的直線對折得到△CQN,
∴∠CNM=∠B=90°,
設DM=x,則MQ=MC=6+x,MN=5+x,
在Rt△CNM中,MB2=BN2+MN2,
即(x+6)2=42+(x+5)2,
解得:x=,
∴DM=,
∴DM的長2.5.
(3)解:分兩種情況:
①當點M在CD延長線上時,如圖所示:
由(1)得∠MCQ=∠MQC,
∵DE⊥CQ,
∴∠CDE=∠F,
又∵∠CDE=∠FDM,
∴∠FDM=∠F,
∴MD=MF.
過M點作MH⊥DF于H,則DF=2DH,
又,
∴,
∵DE⊥CQMH⊥DF,
∴∠MHD=∠DEC=90°,
∴△MHD∽△DEC
∴ ,
∴DM=1,MC=MQ=7,
∴MN=
∴BQ=NQ=
②當點M在CD邊上時,如圖所示,類似可求得BQ=2.
綜上所述,BQ的長為或2.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點P為AB延長線上一點,PC切⊙O于點C,過點B作BE∥PC交⊙O于點E,連接CE,CB.
(1)試判斷△BCE的形狀,并說明理由;
(2)過點C作CD⊥AB于點D交BE于點F,若cosP=,CF=5,求AB的長.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為定值,E是邊CD上的動點(不與點C,D重合),AE交對角線BD于點F,FG⊥AE交BC于點G,GH⊥BD于點H.現(xiàn)給出下列命題:①AF=FG;②FH的長度為定值.則( 。
A.①是真命題,②是真命題B.①是真命題,②是假命題
C.①是假命題,②是真命題D.①是假命題,②是假命題
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【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,CP∥OA,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.CP=,PD=6.如果點M是OP的中點,則DM的長是_____.
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【題目】如圖,正方形ABCD和正方形CGFE的頂點C,D,E在同一條直線上,頂點B,C,G在同一條直線上.O是EG的中點,∠EGC的平分線GH過點D,交BE于點H,連接FH交EG于點M,連接OH.以下四個結論:①GH⊥BE;②△EHM∽△GHF;③﹣1;④=2﹣,其中正確的結論是( 。
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
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【題目】A、B、C三人玩籃球傳球游戲,游戲規(guī)則是:第一次傳球由A將球隨機地傳給B,C兩人中的某一人,以后的每一次傳球都是由上次的傳球者隨機地傳給其他兩人中的某一人.
(1)求兩次傳球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次傳球后,球恰在A手中的概率.
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【題目】如圖,將矩形ABCD繞點A旋轉至矩形AB′C′D′位置,此時AC′的中點恰好與D點重合,AB′交CD于點E.若AB=6,則△AEC的面積為_____.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD是△ABC的角平分線;以BC為直徑的⊙O交BD于點E,連接CE并延長交AB于點F,連接DF,
(1)補全圖中圖形;(要求:清晰、準確,標出相應字母,不寫作法,不必保留作圖痕跡)
(2)DC=DF;
(3)若AC=8,BC=6,求CF的長.
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【題目】學校計劃購買某種樹苗綠化校園,甲、乙兩林場這種樹苗的售價都是每棵20元,又各有不同的優(yōu)惠方案,甲林場:若一次購買20棵以上,售價是每棵18元;乙林場:若一次購買10棵以上,超過10棵部分打8.5折。設學校一次購買這種樹苗x棵(x是正整數(shù)).
(Ⅰ)根據(jù)題意填寫下表:
學校一次購買樹苗(棵) | 10 | 15 | 20 | 40 |
在甲林場實際花費(元) | 200 | 300 | ||
在乙林場實際花費(元) | 200 | 370 | 710 |
(Ⅱ)學校在甲林場一次購買樹苗,實際花費記為(元),在乙林場一次購買樹苗,實際花費記為(元),請分別寫出與x的函數(shù)關系式;
(Ⅲ)當時,學校在哪個林場一次購買樹苗,實際花費較少?為什么?
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