Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BE∥PC交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，CB．

（1）試判斷△BCE的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D交BE于點(diǎn)F，若cosP＝，CF＝5，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）△BCE為等腰三角形，理由見(jiàn)解析；（2）AB＝20

【解析】

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCP＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）連接AC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠A＝∠DCB，得到∠FCB＝∠CBF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF＝BF＝5，根據(jù)勾股定理得到BC＝，由射影定理即可得到結(jié)論．

（1）△BCE為等腰三角形，

理由：連接OC，

∵PC切⊙O于點(diǎn)C，

∴∠OCP＝90°，

∵BE∥PC，

∴OC⊥BE，

∴

∴∠CBE＝∠E，

∴EC＝BC，

即△BCE是等腰三角形；

（2）連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝∠A+∠ACD＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠E＝∠A，

∴∠FCB＝∠CBF，

∴CF＝BF＝5，

∵BE∥PC，

∴∠DBF＝∠P，

∴cosP＝cos∠DBF＝，

∴BD＝4，DF＝3，CD＝8，

∴BC＝，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴BC2＝ABBD，

∴（4）2＝4AB，

∴AB＝20．