【題目】拋物線yax22ax3a圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4,直線MDx軸于點(diǎn)D

1)求拋物線的解析式;

2)如圖1,N為線段MD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以N為等腰三角形頂角頂點(diǎn),NA為腰構(gòu)造等腰NAG,且G點(diǎn)落在直線CM上.若在直線CM上滿足條件的G點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

3)如圖,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),點(diǎn)Q為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,連接PC、AQ.當(dāng)PCAQ時(shí),求SPCQ的值.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,﹣4+2 )或(13);(3

【解析】

1)求出對(duì)稱軸得到頂點(diǎn)坐標(biāo),代入解析式求出a值即可.
2)當(dāng)直線CM上滿足條件的G點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí),可分兩種情況討論:①NGCM,且NG=NA,如圖2,作CHMDH,如圖2.設(shè)N1n),易得NG=MN=4-n),NA2=22+n2=4+n2,由題可得NG=NA,由此即可得到關(guān)于n的方程,解這個(gè)方程就可解決問題;②AN、G共線,且AN=GN,如圖3,過點(diǎn)GTx軸于T,則有AD=DT=2,運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式,從而得出點(diǎn)G的坐標(biāo),然后運(yùn)用三角形的中位線定理就可解決問題.
3)根據(jù)點(diǎn)P在第一象限,點(diǎn)Q在第二象限,且橫坐標(biāo)相差1,進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)P3-m,-m2+4m)(0m1);得出點(diǎn)Q4-m,-m2+6m-5),得出CP2AQ2,最后建立方程求解即可.

解:(1)將頂點(diǎn)M坐標(biāo)(1,4)代入解析式,可得a=﹣1,拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3

2)當(dāng)直線CM上滿足條件的G點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí),

NGCM,且NGNA,如圖1,

CHMDH,

則有∠MGN=∠MHC90°

設(shè)N1,n),

當(dāng)x0時(shí),y3,點(diǎn)C03).

M1,4),

CHMH1,

∴∠CMH=∠MCH45°,

NGMN4n).

RtNAD中,

ADDB2,DNn

NA222+n24+n2

4n24+n2

整理得:n2+8n80,

解得:n1=﹣4+2,n2=﹣42(舍負(fù)),

N1,﹣4+2).

A、N、G共線,且ANGN,如圖2

過點(diǎn)GTx軸于T,

則有DNGT,

根據(jù)平行線分線段成比例可得ADDT2

OT3

設(shè)過點(diǎn)C0,3)、M1,4)的解析式為ypx+q,

則,解得,

∴直線CM的解析式為yx+3

當(dāng)x3時(shí),y6,

G3,6),GT6

ANNG,ADDT,

NDGT3,

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(13).

綜上所述:點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1,﹣4+2 )或(1,3).

3)如圖3,過點(diǎn)PPDx軸交CQD

設(shè)P3m,﹣m2+4m)(0m1);∵C0,3),

PC2=(3m2+(﹣m2+4m32=(m32[m12+1],

∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)比點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大1,

Q4m,﹣m2+6m5),

A(﹣1,0).

AQ2=(4m+12+(﹣m2+6m52=(m52[m12+1]

PCAQ,

81PC225AQ2,

81m32[m12+1]25m52[m12+1],

0m1,

[m12+1]≠0,

81m3225m52

9m3)=±5m5),

mm(舍),

P,),Q,﹣),

C0,3),

∴直線CQ的解析式為y=﹣x+3,

P),

D,),

PD+

SPCQSPCD+SPQDPD×xP+PD×xQxP)=PD×xQ

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求拋物線的解析式;

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1)如圖1,求拋物線的解析式;

2)如圖2,點(diǎn)在第四象限的拋物線上,連接軸于點(diǎn),軸于點(diǎn),的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn),求證:;

3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)上,連接、,,,求的坐標(biāo).

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1)若m=2n=1,求在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)D到點(diǎn)D1所經(jīng)過路徑的長(zhǎng)度;

2)將矩形A1BC1D1繼續(xù)繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2,點(diǎn)D2BC的延長(zhǎng)線上,設(shè)邊A2BCD交于點(diǎn)E,若,求的值.

3)如圖二,在(2)的條件下,直線AB上有一點(diǎn)P,BP=2,點(diǎn)E是直線DC上一動(dòng)點(diǎn),在BE左側(cè)作矩形BEFG且始終保持,設(shè)AB=,試探究點(diǎn)E移動(dòng)過程中,PF是否存在最小值,若存在,求出這個(gè)最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天?

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(1)若,求的度數(shù);

(2)若,垂足為,求證: .

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