Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)E（4，5），與y軸交于點(diǎn)B，連接AB．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．

①當(dāng)點(diǎn)F落在直線AE上時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)和△ABF的面積；

②當(dāng)點(diǎn)F到直線AE的距離為時(shí)，過點(diǎn)F作直線AE的平行線與拋物線相交，請直接寫出交點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=﹣x2+4x+5；（2）①當(dāng)F（﹣4，﹣3）時(shí)，S△ABF=6；當(dāng)F（3，4）時(shí)，S△ABF=8；②F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），（，），（，），（，）．

【解析】（1）將點(diǎn)A、E的坐標(biāo)代入利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

（2）①先利用待定系數(shù)法求得直線AE的解析式，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得點(diǎn)F坐標(biāo)，分情況進(jìn)行討論即可得；

②由題意可知直線AE向上平移2個(gè)單位或向下平移2個(gè)單位，求出平移后的解析式然后分別與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立組成方程組進(jìn)行求解即可得.

（1）將A，E點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

，解得，

拋物線的解析式是y=﹣x2+4x+5；

（2）①設(shè)AE的解析式為y=kx+b，將A，E點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，解得，

AE的解析式為y=x+1，x=0時(shí)，y=1，即C（0，1），

設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（n，n+1），由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OF=OB=5，n2+（n+1）2=25，

解得n1=﹣4，n2=3，F(xiàn)（﹣4，﹣3），F(xiàn)（3，4），

當(dāng)F（﹣4，﹣3）時(shí)，如圖1，

，

S△ABF=S△BCF﹣S△ABC=BC|xF|﹣BC|xA|=BC（xA﹣xF），

S△ABF=×4（﹣1+4）=6；

當(dāng)F（3，4）時(shí)，如圖2，

，

S△ABF=S△BCF+S△ABC=BC|xF|+BC|xA|=BC（xF﹣xA），

S△ABF=×4（3+1）=8；

②如圖3，

∵∠HCG=∠ACO，∠HGC=∠COA，∴△HGC∽△COA，

∵OA=OC=1，∴CG=HG=，由勾股定理，得HC==2，

直線AE向上平移2個(gè)單位或向下平移2個(gè)單位，

l的解析是為y=x+3，l1的解析是為y=x﹣1，

聯(lián)立，

解得，，

，解得，，

F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），（，），（，），（，）．