【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖①,D是等邊ABC的邊BA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方作等邊DCF,連接AF,你能發(fā)現(xiàn)AFBD之間的數(shù)量關(guān)系嗎?并證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;

(2)類比猜想:如圖②,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊ABCBA的延長(zhǎng)線時(shí),其他作法與(1)相同,猜想AFBD(1)中的結(jié)論是否仍然成立?

(3)深入探究:Ⅰ.如圖③,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊ABCBA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)DB不重合),連接DC,以DC為邊在BC上方和下方分別作等邊DCF和等邊DCF′,連接AF,BF′,探究AF,BF′AB有何數(shù)量關(guān)系?并證明你的探究的結(jié)論;Ⅱ.如圖④,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在等邊ABC的邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),其他作法與圖③相同,Ⅰ中的結(jié)論是否成立?若不成立,是否有新的結(jié)論?并證明你得出的結(jié)論.

【答案】(1)AF=BD;證明見解析;(2)成立,證明見解析;(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;證明見解析;Ⅱ.Ⅰ中的結(jié)論不成立.新的結(jié)論是AF=AB+BF′;證明見解析.

【解析】解:(1AF=BD。證明如下:

∵△ABC是等邊三角形(已知),∴BC=AC,∠BCA=60°(等邊三角形的性質(zhì))。

同理知,DC=CF,∠DCF=60°。

∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF。

△BCD△ACF中,∵BC=AC,∠BCD=∠ACFDC=CF,

∴△BCD≌△ACFSAS)。∴BD=AF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。

2AF=BD仍然成立。

3AF+BF′=AB。證明如下:

由(1)知,△BCD≌△ACFSAS),則BD=AF。

同理△BCF′≌△ACDSAS),則BF′=AD。

∴AF+BF′=BD+AD=AB。

中的結(jié)論不成立,新的結(jié)論是AF=AB+BF′。證明如下:

△BCF′△ACD中,∵BC=AC,∠BC F′=∠ACD,F′C=DC,

∴△BCF′≌△ACDSAS)。∴BF′=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。

又由(2)知,AF=BD,∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′。

1)根據(jù)等邊三角形的三條邊、三個(gè)內(nèi)角都相等的性質(zhì),利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AF=BD

2)通過證明△BCD≌△ACF,即可證明AF=BD。

3AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACFSAS)的對(duì)應(yīng)邊BD=AF;同理△BCF′≌△ACDSAS),則BF′=AD,所以AF+BF′=AB。

中的結(jié)論不成立,新的結(jié)論是AF=AB+BF′:通過證明△BCF′≌△ACDSAS),則BF′=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),再結(jié)合(2)中的結(jié)論即可證得AF=AB+BF′

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