【題目】如圖,△ABC是邊長為4cm的等邊三角形,AD為BC邊上的高,點P沿BC向終點C運動,速度為1cm/s,點Q沿CA、AB向終點B運動,速度為2cm/s,若點P、Q兩點同時出發(fā),設(shè)它們的運動時間為x(s).
(l)求x為何值時,PQ⊥AC;x為何值時,PQ⊥AB?
(2)當(dāng)O<x<2時,AD是否能平分△PQD的面積?若能,說出理由;
(3)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系,請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程).
【答案】(1)當(dāng)x=(Q在AC上)時,PQ⊥AC;x=時PQ⊥AB;(2)AD平分△PQD的面積;(3)當(dāng)x=或時,以PQ為直徑的圓與AC相切,當(dāng)0≤x<或<x<或<x≤4時,以PQ為直徑的圓與AC相交.
【解析】
試題分析:(1)若使PQ⊥AC,則根據(jù)路程=速度×時間表示出CP和CQ的長,再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解;
若使PQ⊥AB,則根據(jù)路程=速度×時間表示出BP,BQ的長,再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解;
(2)根據(jù)三角形的面積公式,要證明AD平分△PQD的面積,只需證明O是PQ的中點.根據(jù)題意可以證明BP=CN,則PD=DN,再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明;
(3)根據(jù)(1)中求得的值即可分情況進行討論.
試題解析:(1)當(dāng)Q在AB上時,顯然PQ不垂直于AC,
當(dāng)Q在AC上時,由題意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x;
∵AB=BC=CA=4,
∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,則有∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴4-x=2×2x,
∴x=;
當(dāng)x=(Q在AC上)時,PQ⊥AC;
如圖:①
當(dāng)PQ⊥AB時,BP=x,BQ=x,AC+AQ=2x;
∵AC=4,
∴AQ=2x-4,
∴2x-4+x=4,
∴x=,
故x=時PQ⊥AB;
(2)過點QN⊥BC于點N,
當(dāng)0<x<2時,在Rt△QNC中,QC=2x,∠C=60°;
∴NC=x,
∴BP=NC,
∵BD=CD,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴AD∥QN,
∴OP=OQ,
∴S△PDO=S△DQO,
∴AD平分△PQD的面積;
(3)顯然,不存在x的值,使得以PQ為直徑的圓與AC相離,
當(dāng)x=或時,以PQ為直徑的圓與AC相切,
當(dāng)0≤x<或<x<或<x≤4時,以PQ為直徑的圓與AC相交.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(規(guī)律探究題)下表是按一定規(guī)律排列的一列方程,仔細(xì)觀察,大膽猜想,科學(xué)推斷,完成練習(xí).
序號 | 方程 | 方程的解 |
1 | x2-2x-3=0 | x1=-1,x2=3 |
2 | x2-4x-12=0 | x1=-2,x2=6 |
3 | x2-6x-27=0 | x1=-3,x2=9 |
… | … | … |
(1)這列方程中第10個方程的兩個根分別是x1=____,x2=____.
(2)這列方程中第n個方程為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,李老師設(shè)計了一個探究杠桿平衡條件的實驗:在一個自制類似天平的儀器的左邊固定托盤A中放置一個重物,在右邊活動托盤B(可左右移動)中放置一定質(zhì)量的砝碼,使得儀器左右平衡.改變活動托盤B與點O的距離x(cm),觀察活動托盤B中砝碼的質(zhì)量y(g)的變化情況.實驗數(shù)據(jù)記錄如下表:
x(cm) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
y(g) | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 |
(1)猜測y與x之間的函數(shù)關(guān)系,求出函數(shù)關(guān)系式并加以驗證;
(2)當(dāng)砝碼的質(zhì)量為24g時,活動托盤B與點O的距離是多少?
(3)將活動托盤B往左移動時,應(yīng)往活動托盤B中添加還是減少砝碼?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進行試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降低1元,每天就可多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.
(1)當(dāng)銷售單價為70元時,每天的銷售利潤是多少?
(2)求出每天的銷售利潤y(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量的取值范圍;
(3)如果該企業(yè)每天的總成本不超過7000元,那么銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?(每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李明到離家2.1千米的學(xué)校參加初三聯(lián)歡會,到學(xué)校時發(fā)現(xiàn)演出道具還放在家中,此時距聯(lián)歡會開始還有42分鐘,于是他立即勻速步行回家,在家拿道具用了1分鐘,然后立即勻速騎自行車返回學(xué)校.已知李明騎自行車到學(xué)校比他從學(xué)校步行到家用時少20分鐘,且騎自行車的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(單位:米/分)是多少?
(2)李明能否在聯(lián)歡會開始前趕到學(xué)校?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D。AF平分∠CAB,交CD于點E,交CB于點F。
(1)求證:CE=CF。
(2)將圖(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置,使點E′落在BC邊上,其它條件不變,如圖(2)所示。試猜想:BE′與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是A、B、C三島的平面圖,C島在A島的北偏東50°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西50°方向,從B島看A、C兩島的視角∠ABC是多少度?從C島看A、B兩島的視角∠ACB呢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從一個半徑為1的圓形鐵皮中剪下一個圓心角為90°的扇形BAC.
(1)求這個扇形的面積;
(2)若將扇形BAC圍成一個圓錐的側(cè)面,這個圓錐的底面直徑是多少?能否從最大的余料③中剪出一個圓做該圓錐的底面?請說明理由.
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