Question

【題目】如圖，在中，AB=AC，AD是BC邊的中線，以AC為邊作等邊△ACE，BE與AD相交于點P，點F在BE上，且PF=PA，連接AF下列四個結論：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正確結論的個數(shù)是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由等腰三角形“三線合一”的性質可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，可對①進行判斷；由AB=AC，△ACE是等邊三角形可得AB=AE，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠ABE=∠AEB，可對②進行判斷；由三角形內角和定理可得∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即可求出∠BAD+∠ABE=60°，根據(jù)外角性質可得∠APE=∠BAD+∠ABE=60°，可對③進行判斷；由AP=PF，∠APE=60°可得△APF是等邊三角形，可得∠APB=∠AFE=120°，利用AAS即可證明△AEF≌△ABP，可對④進行判斷；綜上即可得答案.

∵AB=AC，AD是BC邊中線，

∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，故①正確，

∵△ACE是等邊三角形，

∴AC=AE，∠CAE=60°，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，故②正確，

∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，

∴∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即2(∠BAD+∠ABE)+60°=180°，

∴∠ABE+∠BAD=60°，

∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故③正確，

∵AP=PF，∠APE=60°，

∴△APF是等邊三角形，

∴∠APF=∠AFP=60°，

∴∠APB=∠AFE=120°，

在△AEF和△ABP中，，

∴△AEF≌△ABP，故④正確，

綜上所述：正確的結論有①②③④，共4個，

故選：D.