Question

【題目】如圖，兩個全等的△ABC和△DEF重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進行如下變換:

(1)如圖①，△DEF沿直線CB向右平移(即點F在線段CB上移動)，連接AF，AD，BD，請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系.

(2)如圖②，當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應滿足什么條件?請給出證明.

(3)在(2)的條件下，將△DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你畫出圖形，并求出sin∠CGF的值.

Answer 1

【答案】（1）S△ABC=S四邊形AFBD；

（2）△ABC為等腰直角三角形，即:AB=AC，∠BAC=90°，理由見解析；

（3）sin ∠CGF=.

【解析】試題分析：（1）利用平行線的性質(zhì)以及三角形面積關(guān)系，得出答案；

（2）利用平行四邊形的判定得出四邊形AFBD為平行四邊形，進而得出AF=BC=BF，求出答案；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)CF=k，利用勾股定理求出即可．

解：（1）S△ABC=S四邊形AFBD，

理由：由題意可得：AD∥EC，

則S△ADF=S△ABD，

故S△ACF=S△ADF=S△ABD，

則S△ABC=S四邊形AFBD；

（2）△ABC為等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，

理由如下：

∵F為BC的中點，

∴CF=BF，

∵CF=AD，

∴AD=BF，

又∵AD∥BF，

∴四邊形AFBD為平行四邊形，

∵AB=AC，F為BC的中點，

∴AF⊥BC，

∴平行四邊形AFBD為矩形

∵∠BAC=90°，F為BC的中點，

∴AF=BC=BF，

∴四邊形AFBD為正方形；

（3）如圖3所示：

由（2）知，△ABC為等腰直角三角形，AF⊥BC，

設(shè)CF=k，則GF=EF=CB=2k，

由勾股定理得：CG=k，

∴CG=CF．