Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF交AB于F，∠ADC的平分線DG交邊AB于G.

（1）線段AF與GB相等嗎？

（2）當四邊形ABCD滿足什么條件時，△EFG為等腰直角三角形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AF=GB；（2）四邊形ABCD是矩形，理由見解析.

【解析】

試題（1）根據平行四邊形的性質，AD=BC，要求AF=GB，可先利用角關系求解AG=BF，再減去公共線段FG即可；

（2）由于DG、CF是平行四邊形一組鄰角的平分線，所以△EFG已經是直角三角形了，要成為等腰直角三角形，則必須有EF=EG或者∠EFG=∠EGF=45°，從而即可推得四邊形ABCD是矩形．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠AGD＝∠CDG，∠DCF＝∠BFC，

∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠CDG＝∠ADG，∠DCF＝∠BCF，

∴∠ADG＝∠AGD，∠BFC＝∠BCF，

∴AD＝AG，BF＝BC，

∴AG＝BF，即AG-FG＝BF-FG，

∴AF＝BG；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADC＋∠BCD＝180°，

∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠EDC＋∠ECD＝90°，

∴∠DEC＝90°，

∴∠FEG＝90°，

∵要想△EFG為等腰直角三角形，

∴∠BFE=∠FGE=45°，

∴∠ADC=2∠CDG=2∠FGE=90°，

因此四邊形ABCD為矩形.