Question

如圖，將邊長(zhǎng)為15的正方形OEFP置于直角坐標(biāo)系中，OE、OP分別與x軸、y軸的正半軸重合，邊長(zhǎng)為的等邊△ABC的邊BC垂直于x軸，△ABC從點(diǎn)A與點(diǎn)O重合的位置開(kāi)始，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度先向右平移，當(dāng)BC邊與直線EF重合時(shí)，繼續(xù)以同樣的速度向上平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，△ABC停止移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△PAC的面積為y．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，P、A、B三點(diǎn)在同一直線上，求出此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在△ABC向右平移的過(guò)程中，當(dāng)x分別取何值時(shí)，y取最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？
（3）在△ABC移動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)你就△PAC面積大小的變化情況提出一個(gè)綜合論斷．

Answer 1

解：（1）如圖，當(dāng)P、A、B在同一直線上時(shí)，Rt△PBF中，∠PBF=60°，

∴BF=5，DF=FB-BD=5-=4，
則DE=15-4，
∴x=12+15-4=27-4（秒），
∴此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（12，15-4）；

（2）如圖，

△ABC中，AD=AC•sin60°=3，
當(dāng)0≤x≤12時(shí)，
y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，
=（15+）（x+3）-x-，
=x+-x-，
=x+，
由一次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)x=0時(shí)，y_最小=；
當(dāng)x=12時(shí)，y_最大=6+；

（3）當(dāng)△ABC向右移動(dòng)時(shí)，△PAC的面積由逐步增大到6+；
當(dāng)△ABC向上移動(dòng)時(shí)，△PAC的面積由6+逐步減小到．
分析：（1）因?yàn)楫?dāng)P、A、B在同一直線上時(shí)，Rt△PBF中，∠PBF=60°，所以根據(jù)三角函數(shù)與勾股定理的知識(shí)即可求得BF，DF與DE的長(zhǎng)，則可得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）首先求得AD的長(zhǎng)，又由y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，即可求得y與x的函數(shù)，則可知y的最大值與最小值；
（3）由圖象可知當(dāng)△ABC向右移動(dòng)時(shí)，△PAC的面積逐步增大，當(dāng)△ABC向上移動(dòng)時(shí)，△PAC的面積逐步減�。�
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的知識(shí)以及一次函數(shù)的應(yīng)用．此題綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．