Question

如圖，將邊長為15的正方形OEFP置于直角坐標系中，OE、OP分別與x軸、y軸的正半軸重合，邊長為2

3

的等邊△ABC的邊BC垂直于x軸，△ABC從點A與點O重合的位置開始，以每秒1個單位長的速度先向右平移，當BC邊與直線EF重合時，繼續(xù)以同樣的速度向上平移，當點C與點F重合時，△ABC停止移動．設運動時間為x秒，△PAC的面積為y．
（1）當x為何值時，P、A、B三點在同一直線上，求出此時A點的坐標；
（2）在△ABC向右平移的過程中，當x分別取何值時，y取最大值和最小值？最大值和最小值分別是多少？
（3）在△ABC移動的過程中，請你就△PAC面積大小的變化情況提出一個綜合論斷．

Answer 1

分析：（1）因為當P、A、B在同一直線上時，Rt△PBF中，∠PBF=60°，所以根據(jù)三角函數(shù)與勾股定理的知識即可求得BF，DF與DE的長，則可得點A的坐標；
（2）首先求得AD的長，又由y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，即可求得y與x的函數(shù)，則可知y的最大值與最小值；
（3）由圖象可知當△ABC向右移動時，△PAC的面積逐步增大，當△ABC向上移動時，△PAC的面積逐步減�。�

解答：解：（1）如圖，當P、A、B在同一直線上時，Rt△PBF中，∠PBF=60°，

∴BF=5

3

，DF=FB-BD=5

3

-

3

=4

3

，
則DE=15-4

3

，
∴x=12+15-4

3

=27-4

3

（秒），
∴此時點A的坐標為（12，15-4

3

）；

（2）如圖，

△ABC中，AD=AC•sin60°=3，
當0≤x≤12時，
y=S_梯形PODC-S_△POA-S_△ADC，
=

1

2

（15+

3

）（x+3）-

15

2

x-

3

2

3

，
=

15+ 3

2

x+

45+3 3

2

-

15

2

x-

3

2

3

，
=

3

2

x+

45

2

，
由一次函數(shù)性質(zhì)可知：當x=0時，y_最小=

45

2

；
當x=12時，y_最大=6

3

+

45

2

；

（3）當△ABC向右移動時，△PAC的面積由

45

2

逐步增大到6

3

+

45

2

；  
當△ABC向上移動時，△PAC的面積由6

3

+

45

2

逐步減小到

15 3

2

．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的知識以及一次函數(shù)的應用．此題綜合性很強，解題時要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應用．