Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y＝﹣ x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是直線CD上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交 線段CD于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求PE的長最大時m的值．

（3）Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，在（2）的情況下，以P、Q、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形是否存在？若存在，請直接寫出存在 個滿足題意的點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時,的長最大（3）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)的坐標(biāo)為，列出，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即可；

（3）分以為對角線時、以為對角線時、以為對角線時三種情況進(jìn)行討論求解即可．

解：（1）∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn)

∴將、兩點(diǎn)代入，得：

∴

∴拋物線的解析式為：．

（2）∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∵，

∴當(dāng)時,的長最大．

（3）∵由（2）可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為：

∴以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分為三種情況，如圖：

①以為對角線時

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；

②以為對角線時

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；

③以為對角線時

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．

∴綜上所述，在（2）的情況下，存在以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為：、或

∴存在個滿足題意的點(diǎn)．