已知:在如圖1所示的平面直角坐標系xOy中,A,C兩點的坐標分別為,
(其中n>0),點B在x軸的正半軸上.動點P從點O出發(fā),在四邊形OABC的邊上依次沿O—A—B—C的順序向點C移動,當點P與點C重合時停止運動.設(shè)點P移動的路徑的長為l,△POC的面積為S,S與l的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示,其中四邊形ODEF是等腰梯形.
1.(1)結(jié)合以上信息及圖2填空:圖2中的m= ;
2.(2)求B,C兩點的坐標及圖2中OF的長;
3.(3)在圖1中,當動點P恰為經(jīng)過O,B兩點的拋物線W的頂點時,
①求此拋物線W的解析式;
② 若點Q在直線上方的拋物線W上,坐標平面內(nèi)另有一點R,滿足以B,
P,Q,R四點為頂點的四邊形是菱形,求點Q的坐標.
1.(1)圖2中的m=
2.(2)∵ 圖11(原題圖2)中四邊形ODEF是等腰梯形,點D的坐標為,
∴ ,此時原題圖1中點P運動到與點B重合,
∵ 點B在x軸的正半軸上,
∴ .
解得 ,點B的坐標為. ………………………………………2分
此時作AM⊥OB于點M,CN⊥OB于點N.(如圖12).
∵ 點C的坐標為,
∴ 點C在直線上.
又由圖11(原題圖2)中四邊形ODEF是等腰梯形可知圖12中的點C在過點O與AB平行的直線l上,
∴ 點C是直線與直線l的交點,且.
又∵ ,即AM= CN,
可得△ABM≌△CON.
∴ ON=BM=6,點C的坐標為.……………………………………3分
∵ 圖12中 .
∴ 圖11中,. …………………4分
3.(3)①當點P恰為經(jīng)過O,B兩點的拋物線的頂點時,作PG⊥OB于點G.
(如圖13)
∵O,B兩點的坐標分別為,,
∴由拋物線的對稱性可知點P的橫坐標為4,即OG=BG=4.
由可得PG=2.
∴ 點P的坐標為.………………5分
設(shè)拋物線W的解析式為(a≠0).
∵ 拋物線過點,
∴.
解得.
∴ 拋物線W的解析式為.
…………………………………6分
②如圖14.
i)當BP為以B,P,Q,R為頂點的菱
形的邊時,
∵ 點Q在直線上方的拋物線W
上,點P為拋物線W的頂點,結(jié)合拋
物線的對稱性可知點Q只有一種情況,
點Q與原點重合,其坐標為.
……………………………………7分
ii)當BP為以B,P,Q,R為頂點的菱形的對角線時,
可知BP的中點的坐標為,BP的中垂線的解析式為.
∴點的橫坐標是方程的解.
將該方程整理得.
解得.
由點Q在直線上方的拋物線W上,結(jié)合圖14可知點的橫坐標為.
∴點的坐標是. …………………………8分
綜上所述,符合題意的點Q的坐標是,.
解析:略
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