【題目】在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN,若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點E,F(xiàn),AE和BF交于點P.如圖,點點同學發(fā)現(xiàn)當射線AM,BN交于點C;且∠ACB=60°時,有以下兩個結(jié)論:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,當AM∥BN時:

(1)點點發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請求出∠APB的度數(shù),寫出AF,BE,AB長度之間的等量關系,并給予證明;
(2)設點Q為線段AE上一點,QB=5,若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32 ,求AQ的長.

【答案】
(1)

解:解:點點的結(jié)論:①∵∠ACB=60°,

∴∠BAC+∠ABC=120°,

∵∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN,AM于點E,F(xiàn),

∴∠PAB+∠PBA= (∠PAB+∠PBA)=60°,

∴∠APB=120°,

②如圖,在AB上取一點G,使AG=AF,

∵AE是∠BAM的角平分線,

∴∠PAG=∠PAF,

在△PAG和△PAF中, ,

∴△PAG≌△PAF(SAS),

∴∠AFP=∠AGP,

∵∠EPF=∠APB=120°,∠ACB=60°,

∴∠EPF+∠ACB=180°,

∴∠PFC+∠PEC=180°,

∵∠PFC+∠AFP=180°,

∴∠PEC=∠AFP,

∴∠PEC=∠AGP,

∵∠AGP+∠BGP=180°,

∴∠PEC+∠BGP=180°,

∵∠PEC+∠PEB=180°,

∴∠BGP=∠BEP,

∵BF是∠ABC的角平分線,

∴∠PBG=∠PBE,

在△BPG和△BPE中, ,

∴△BPG≌△BPE(AAS),

∴BG=BE,

∴AF+BE=AB.

原命題不成立,新結(jié)論為:∠APB=90°,AF+BE=2AB(或AF=BE=AB),

理由:∵AM∥BN,

∴∠MAB+∠NBA=180°,

∵AE,BF分別平分∠MAB,NBA,

∴∠EAB= ∠MAB,∠FBA= ∠NBA,

∴∠EAB+∠FBA= (∠MAB+∠NBA)=90°,

∴∠APB=90°,

∵AE平分∠MAB,

∴∠MAE=∠BAE,

∵AM∥BN,

∴∠MAE=∠BAE,

∴∠BAE=∠BEA,

∴AB=BE,

同理:AF=AB,

∴AF+BE=2AB(或AF=BE=AB)


(2)

解:如圖1,

過點F作FG⊥AB于G,

∵AF=BE,AF∥BE,

∴四邊形ABEF是平行四邊形,

∵AF+BE=16,

∴AB=AF=BE=8,

∵32 =8×FG,

∴FG=4 ,

在Rt△FAG中,AF=8,

∴∠FAG=60°,

當點G在線段AB上時,∠FAB=60°,

當點G在線段BA延長線時,∠FAB=120°,

①如圖2,

當∠FAB=60°時,∠PAB=30°,

∴PB=4,PA=4

∵BQ=5,∠BPA=90°,

∴PQ=3,

∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3.

②如圖3,

當∠FAB=120°時,∠PAB=60°,∠FBG=30°,

∴PB=4

∵PB=4 >5,

∴線段AE上不存在符合條件的點Q,

∴當∠FAB=60°時,AQ=4 ﹣3或4 +3.


【解析】點點的兩個結(jié)論:①利用三角形的角平分線和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;②先判斷出△PAG≌△PAF(SAS)得出∠AFP=∠AGP,結(jié)合同角的補角相等即可得出∠BGP=∠BEP,進而判斷出△BPG≌△BPE(AAS),即可得出結(jié)論;(1)由角平分線和平行線整體求出∠MAB+∠NBA,從而得到∠APB=90°,最后用等邊對等角,即可.(2)先根據(jù)條件求出AF,F(xiàn)G,求出∠FAG=60°,最后分兩種情況討論計算.

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(3)如圖2,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點C、D兩點(點C在點D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°?若存在,請求出此時k的值;若不存在,請說明理由.

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