Question

已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD²＋CD²＝2AB²．

（1）求證：AB＝BC；
（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE＝AE＋CD．

Answer 1

（1）連接AC，先根據(jù)勾股定理可得，，再結(jié)合，可得，從而證得結(jié)果；
（2）過C作CF⊥BE于F，即可證得四邊形CDEF是矩形，則可得CD＝EF，根據(jù)同角的余角相等可得∠BAE＝∠CB，即可證得△BAE≌△CBF，則可得AE＝BF，從而得到結(jié)果.

試題分析：（1）連接AC
∵∠ABC＝90°
∴AB²＋BC²＝AC²
∵CD⊥AD
∴AD²＋CD²＝AC²
∵AD²＋CD²＝2AB²
∴AB²＋BC²＝2AB²
∴AB＝BC；
（2）過C作CF⊥BE于F

∵BE⊥AD
∴四邊形CDEF是矩形.
∴CD＝EF
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°
∴∠BAE＝∠CB
∴△BAE≌△CBF.
∴AE＝BF
∴BE＝BF＋EF＝AE＋CD.
點(diǎn)評：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，讀懂題意及圖形，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.