Question

11．如圖，為了擰開一個邊長為a的正六邊形六角形螺帽，扳手張開b=30mm時正好把螺帽嵌進(jìn)，則螺帽的邊長a最大為10$\sqrt{3}$mm．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍．構(gòu)造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對的角是30度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識求解．

解答 解：設(shè)正多邊形的中心是O，其一邊是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四邊形ABCO是菱形，
∵AB=a，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=$\frac{AM}{AB}$，
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=30mm，
∴a=AB=$\frac{AM}{cos30°}$=$\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10$\sqrt{3}$（mm）．
故答案為：10$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正多邊形和圓的知識，構(gòu)造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)進(jìn)行求解