【題目】(模型建立)(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,過(guò)A作AD⊥ED于點(diǎn)D,過(guò)B作BE⊥ED于點(diǎn)E,求證:△BEC≌△CDA.
(模型應(yīng)用)(2)①已知直線l1:y=x+3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o至直線l2,如圖2,求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;
②如圖3,長(zhǎng)方形ABCO,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,﹣6),點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,當(dāng)點(diǎn)D在直線y=﹣2x+5上時(shí),直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo),并寫出整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①y=﹣5x﹣10;②D(3,﹣1)或,﹣10≤n≤﹣7或﹣2≤n≤1.
【解析】
(1)根據(jù)△ABC為等腰直角三角形,AD⊥ED,BE⊥ED,可判定△ACD≌△CBE;
(2)①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB,交l2于C,過(guò)C作CD⊥y軸于D,根據(jù)△CBD≌△BAO,得出BD=AO=2,CD=OB=3,求得C(-3,5),最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;
②根據(jù)△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+5上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí),分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí),當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí),設(shè)D(x,-2x+5),分別根據(jù)△ADE≌△DPF,得出AE=DF,據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可.分兩種情形求出n的范圍即可;
解:(1)證明:如圖1,∵△ABC為等腰直角三角形,
∴CB=CA,∠ACD+∠BCE=90°,
又∵AD⊥ED,BE⊥ED,
∴∠D=∠E=90°,∠EBC+∠BCE=90°,
∴∠ACD=∠EBC,
在△ACD與△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS);
(2)①如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB,交l2于C,過(guò)C作CD⊥y軸于D,
∵∠BAC=45°,
∴△ABC為等腰直角三角形,
由(1)可知:△CBD≌△BAO,
∴BD=AO,CD=OB,
∵直線l1:y=x+3中,若y=0,則x=﹣2;若x=0,則y=3,
∴A(﹣2,0),B(0,3),
∴BD=AO=2,CD=OB=3,
∴OD=2+3=5,
∴C(﹣3,5),
設(shè)l2的解析式為y=kx+b,則
,
解得 ,
∴l2的解析式:y=﹣5x﹣10;
②當(dāng)點(diǎn)D是直線y=﹣2x+5上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí),分兩種情況:
當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí),如圖中,過(guò)D作x軸的平行線EF,交直線OA于E,交直線BC于F,
設(shè)D(x,﹣2x+5),則OE=2x﹣5,AE=6﹣(2x﹣5)=11﹣2x,DF=EF﹣DE=8﹣x,
由(1)可得,△ADE≌△DPF,則DF=AE,
即:11﹣2x=8﹣x,
解得x=3,
∴﹣2x+5=﹣1,
∴D(3,﹣1),
此時(shí),PF=ED=3,CP=4<CB,符合題意;
當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí),如圖中,過(guò)D作x軸的平行線EF,交直線OA于E,交直線BC于F,
設(shè)D(x,﹣2x+5),則OE=2x﹣5,AE=OE﹣OA=2x﹣5﹣6=2x﹣11,DF=EF﹣DE=8﹣x,
同理可得:△ADE≌△DPF,則AE=DF,
即:2x﹣11=8﹣x,
解得x=,
∴-2x+5=-,
∴D( ,-),
此時(shí),ED=PF=,PB<6,符合題意.
故滿足條件的點(diǎn)D(3,-1)或(),
①當(dāng)點(diǎn)D在AP下方時(shí),點(diǎn)P與B重合時(shí),D(4,﹣10);點(diǎn)P與C重合時(shí),D(7,﹣7),
∴﹣10≤n≤﹣7.
②當(dāng)點(diǎn)D在AP上方時(shí),點(diǎn)P與B重合時(shí),D(4,﹣2);點(diǎn)P與C重合時(shí),D(1,1),
∴﹣2≤n≤1.
綜上所述,﹣10≤n≤﹣7或﹣2≤n≤1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別是AC,BC上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A,C重合),且AE=CF.
(1)求證:△ADE≌△CDF
(2)如圖2連接EF并取EF的中點(diǎn)O,連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使GO=OD,連接DE,DF,GE,GF.求證:四邊形EDFG是正方形.
(3)當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí),四邊形EDFG的面積最小?直接寫出點(diǎn)E的位置及四邊形EDFG面積的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BE,CD分別為其角平分線且交于點(diǎn)O.
(1)當(dāng)∠A=60°時(shí),求∠BOC的度數(shù);
(2)當(dāng)∠A=100°時(shí),求∠BOC的度數(shù);
(3)當(dāng)∠A=α時(shí),求∠BOC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,DB.添加一個(gè)條件,不能使四邊形DBCE成為矩形的是( )
(A)AB=BE (B)BE⊥DC (C)∠ADB=90° (D)CE⊥DE
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.
(1)作出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)將△ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,畫出平移后的△A2B2C2;
(3)若在如圖的網(wǎng)格中存在格點(diǎn)P,使點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和等于點(diǎn)C的橫、縱坐標(biāo)之和,請(qǐng)寫出所有滿足條件的格點(diǎn)P的坐標(biāo)(C除外).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng).分別過(guò)和作于,于,則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間____________時(shí),與去全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是菱形,在上,在延長(zhǎng)線上,和相交于點(diǎn),若,,的長(zhǎng)為,則菱形的面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、,且,與軸的正半軸的交點(diǎn)在的下方.下列結(jié)論:①;②;③;④;⑤.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是________個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC=90°, P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P和點(diǎn)B不重合),分別以AB,AP為邊在∠ABC內(nèi)部作等邊△ABE和等邊△APQ, 連結(jié)QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F, 若FQ=6, AB=2,則BP=__________
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