【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=4,點P在邊BC上,聯(lián)結(jié)AP,將△ABP繞著點A旋轉(zhuǎn),使得點P與邊AC的中點M重合,點B的對應(yīng)點是點B′,則BB′的長等于_____.
【答案】.
【解析】
如圖,延長AB'交BC于E,過點B'作B'D⊥AB于點D,由勾股定理可求AC的長,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求AP=AM=,∠PAB=∠CAE,AB=AB'=2,通過證明△ABP∽△CBA,可得∠PAB=∠C,可得CE=AE,由勾股定理可求CE,BE的長,由相似三角形的性質(zhì)可求B'D,BD的長,即可求解.
解:如圖,延長AB'交BC于E,過點B'作B'D⊥AB于點D,
∵∠ABC=90°,AB=2,BC=4,
∴AC=2,
∵點M是AC中點,
∴AM=,
∵將△ABP繞著點A旋轉(zhuǎn),使得點P與邊AC的中點M重合,
∴AP=AM=,∠PAB=∠CAE,AB=AB'=2,
∵AP2=AB2+PB2,
∴PB=1,
∵,且∠ABP=∠ABC=90°,
∴△ABP∽△CBA,
∴∠PAB=∠C,
∴∠C=∠CAE,
∴CE=AE,
∵AE2=AB2+BE2,
∴CE2=4+(4﹣CE)2,
∴CE=AE=,
∴BE=,
∵B'D∥BC,
∴△AB'D∽△AEB,
∴,
∴,
∴AD=,B'D=,
∴BD=,
∴BB'==,
故答案為:.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,則BC邊掃過圖形的面積為_____.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在BC邊上,點F在DC的延長線上,且∠DAE=∠F.
(1)求證:△ABE∽△ECF;
(2)若AB=5,AD=8,BE=2,求FD的長.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DE垂直半徑OA,C為垂足,DE=6,連接DB,,過點E作EM∥BD,交BA的延長線于點M.
(1)求的半徑;
(2)求證:EM是⊙O的切線;
(3)若弦DF與直徑AB相交于點P,當(dāng)∠APD=45°時,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,從燈塔處觀測輪船的位置,測得輪船在燈塔北偏西的方向,輪船在燈塔北偏東的方向,且海里,海里,已知,求、兩艘輪船之間的距離.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點B(6,1),C(5,0),且與y軸交于點A.
(1)求拋物線的表達式及點A的坐標(biāo);
(2)點P是y軸右側(cè)拋物線上的一點,過點P作PQ⊥OA,交線段OA的延長線于點Q,如果∠PAB=45°.求證:△PQA∽△ACB;
(3)若點F是線段AB(不包含端點)上的一點,且點F關(guān)于AC的對稱點F′恰好在上述拋物線上,求FF′的長.
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【題目】如圖,在一個長40m,寬30m的長方形小操場上,王剛從A點出發(fā),沿著A→B→C的路線以3m/s的速度跑向C地.當(dāng)他出發(fā)4s后,張華有東西需要交給他,就從A地出發(fā)沿王剛走的路線追趕,當(dāng)張華跑到距B地m的D處時,他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上.此時,A處的小旗在陽光下的影子也恰好落在對角線AC上.求:
(1)他們的影子重疊時,兩人相距多少米(DE的長)?
(2)張華追趕王剛的速度是多少?
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【題目】如圖,在中,,點是中點.連接.作,垂足為,的外接圓交于點,連接.
(1)求證:;
(2)過點作圓的切線,交于點.若,求的值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)時,求的長.
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【題目】某商店購進一批單價為16元的日用品,銷售一段時間后,為了獲取更多利潤, 商店決定提高銷售價格,經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn),若按每件20元的價格銷售時,每月能賣360件; 若按每件25元的價格銷售時,每月能賣210件.假定每月銷售件數(shù)y(件)是價格x( 元/件)的一次函數(shù).
(1)試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在商品不積壓,且不考慮其他因素的條件下,問銷售價格為多少時,才能使每月獲得最大利潤?每月的最大利潤是多少?(總利潤=總收入-總成本).
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