Question

【題目】如圖，正方形ABCD和正方形CEFC中，點(diǎn)D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點(diǎn)，EH與CF交于點(diǎn)O．

（1）求證：HC＝HF．

（2）求HE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）HE＝.

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可；

（2）分別求得HO和OE的長(zhǎng)后即可求得HE的長(zhǎng)．

（1）證明：∵AC、CF分別是正方形ABCD和正方形CGFE的對(duì)角線，

∴∠ACD＝∠GCF＝45°，

∴∠ACF＝90°，

又∵H是AF的中點(diǎn)，

∴CH＝HF；

（2）∵CH＝HF，EC＝EF，

∴點(diǎn)H和點(diǎn)E都在線段CF的中垂線上，

∴HE是CF的中垂線，

∴點(diǎn)H和點(diǎn)O是線段AF和CF的中點(diǎn)，

∴OH＝AC，

在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3，

∴AC＝，

∴CF＝3，

又OE是等腰直角△CEF斜邊上的高，

∴OE＝，

∴HE＝HO+OE＝2；