【題目】如圖,在△AOB中,∠AOB為直角,OA=6,OB=8,半徑為2的動圓圓心Q從點O出發(fā),沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動,同時動點P從點A出發(fā),沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為t秒(0<t≤5)以P為圓心,PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D,連結(jié)CD、QC.
(1)當(dāng)t為何值時,點Q與點D重合?
(2)當(dāng)⊙Q經(jīng)過點A時,求⊙P被OB截得的弦長.
(3)若⊙P與線段QC只有一個公共點,求t的取值范圍.
【答案】
(1)
解:∵OA=6,OB=8,
∴由勾股定理可求得:AB=10,
由題意知:OQ=AP=t,
∴AC=2t,
∵AC是⊙P的直徑,
∴∠CDA=90°,
∴CD∥OB,
∴△ACD∽△ABO,
∴ ,
∴AD= ,
當(dāng)Q與D重合時,
AD+OQ=OA,
∴ +t=6,
∴t= ;
(2)
解:當(dāng)⊙Q經(jīng)過A點時,如圖1,
OQ=OA﹣QA=4,
∴t= =4s,
∴PA=4,
∴BP=AB﹣PA=6,
過點P作PE⊥OB于點E,⊙P與OB相交于點F、G,
連接PF,
∴PE∥OA,
∴△PEB∽△AOB,
∴ ,
∴PE= ,
∴由勾股定理可求得:EF= ,
由垂徑定理可求知:FG=2EF= .
(3)
解:當(dāng)QC與⊙P相切時,如圖2,
此時∠QCA=90°,
∵OQ=AP=t,
∴AQ=6﹣t,AC=2t,
∵∠A=∠A,
∠QCA=∠ABO,
∴△AQC∽△ABO,
∴ ,
∴ ,
∴t= ,
∴當(dāng)0<t≤ 時,⊙P與QC只有一個交點,
當(dāng)QC⊥OA時,
此時Q與D重合,
由(1)可知:t= ,
∴當(dāng) <t≤5時,⊙P與QC只有一個交點,
綜上所述,當(dāng),⊙P與QC只有一個交點,t的取值范圍為:0<t≤ 或 <t≤5.
【解析】(1)由題意知CD⊥OA,所以△ACD∽△ABO,利用對應(yīng)邊的比求出AD的長度,若Q與D重合時,則,AD+OQ=OA,列出方程即可求出t的值; 。2)由于0<t≤5,當(dāng)Q經(jīng)過A點時,OQ=4,此時用時為4s,過點P作PE⊥OB于點E,利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長;
。3)若⊙P與線段QC只有一個公共點,分以下兩種情況,①當(dāng)QC與⊙P相切時,計算出此時的時間;②當(dāng)Q與D重合時,計算出此時的時間;由以上兩種情況即可得出t的取值范圍.本題考查圓的綜合問題,涉及圓的切線判定,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),學(xué)生需要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來分析,并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 AC⊥BD,順次連接四邊形ABCD各邊中點,得到四邊形A1B1C1D1,再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點,得到四邊形A2B2C2D2,…,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有( )
①四邊形A2B2C2D2是矩形;
②四邊形A4B4C4D4是菱形;
③四邊形A5B5C5D5的周長是
④四邊形AnBnCnDn的面積是
A. ①②③ B. ②③④ C. ①② D. ②③
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象的頂點為D,其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1和3,則下列結(jié)論正確的是( 。
A.2a﹣b=0
B.a+b+c>0
C.3a﹣c=0
D.當(dāng)a= 時,△ABD是等腰直角三角形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】同學(xué)們,我們很熟悉這樣的算式:,其實,數(shù)學(xué)不僅非常美妙,而且魅力無窮.請你欣賞下列一組等式:
①
②
③
④
⑤……
(1)寫出第⑤個等式:
(2)根據(jù)上述規(guī)律,寫出第個等式:
(3)觀察比較,并大膽猜想:
(4)根據(jù)(2)的規(guī)律計算(寫出計算過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了鼓勵居民節(jié)約用水,決定實行兩級收費(fèi)制度.若每月用水量不超過14噸(含14噸),則每噸按政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價m元收費(fèi);若每月用水量超過14噸,則超過部分每噸按市場價n元收費(fèi).小明家3月份用水20噸,交水費(fèi)49元;4月份用水18噸,交水費(fèi)42元.
(1)求每噸水的政府補(bǔ)貼優(yōu)惠價和市場價分別是多少?
(2)設(shè)每月用水量為x噸,應(yīng)交水費(fèi)為y元,請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)小明家5月份用水26噸,則他家應(yīng)交水費(fèi)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以半徑為1的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形,則該三角形的面積是( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BD為⊙O的直徑,BD與AC相交于點H,AC的延長線與過點B的直線相交于點E,且∠A=∠EBC.
(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)已知CG∥EB,且CG與BD、BA分別相交于點F、G,若BGBA=48,F(xiàn)G= ,DF=2BF,求AH的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次男子馬拉松長跑比賽中,隨機(jī)抽得12名選手所用的時間(單位:分鐘)得到如下樣本數(shù)據(jù):140 146 143 175 125 164 134 155 152 168 162 148
(1)計算該樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù);
(2)如果一名選手的成績是147分鐘,請你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)中位數(shù),推斷他的成績?nèi)绾危?/span>
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