Question

【題目】如圖，點A、F、C、D在同一直線上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，當AF為何值時，四邊形BCEF是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠D，

在△BAC和△EDF中 ，

∴△BAC≌△EDF（SAS），

∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，

∴BC∥EF，

∴四邊形BCEF是平行四邊形

（2）解：連接BE，交CF于點G，

∵四邊形BCEF是菱形，

∴CG=FG，BE⊥AC，

∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC= =10，

∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，

∴△ABC∽△BGC，

∴ = ，

即 = ，

∴CG=3.6，

∵FG=CG，

∴FC=2CG=7.2，

∴AF=AC﹣FC=10﹣7.2=2.8．

【解析】（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易證得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；（2）由四邊形BCEF是菱形，連接BE，交CF與點G，證得△ABC∽△BGC，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得AF的值．
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的判定和菱形的判定方法，需要了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能得出正確答案．