Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝5，AC＝2，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接EC．

（1）如圖a，求證：CE⊥BC；

（2）連接ED，M為AC的中點(diǎn)，N為ED的中點(diǎn)，連接MN，如圖b．

①寫(xiě)出DE、AC，MN三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)BD的長(zhǎng)為何值時(shí)，M，E兩點(diǎn)之間的距離最��？最小值是　 　，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①MN2+AC2＝DE2，見(jiàn)解析；②當(dāng)BD＝2時(shí)，EM的值最小，1.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥AC交BC于H，如圖1，易證△AHC是等腰直角三角形，由SAS可證△HAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠AHD＝45°，即可證得結(jié)論；

（2）①連接AN，CN，由直角三角形的性質(zhì)可得AN＝CN＝DE，由等腰三角形的性質(zhì)可得MN⊥AC，CM＝AC，然后由勾股定理可得結(jié)論；

②由（1）知∠ECB＝90°，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)ME⊥EC時(shí)，ME的值最小，然后根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可求出ME的長(zhǎng)，再結(jié)合已知和（1）的結(jié)論依次求出HC、HD、CD的長(zhǎng)，即可求得BD的長(zhǎng)．

解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥AC交BC于H，如圖1，

∵∠ACB＝45°，AH⊥AC，

∴∠AHC＝∠ACB＝45°，

∴AH＝AC，

∵將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，

∴AD＝AE，∠HAC＝∠DAE＝90°，

∴∠HAD＝∠CAE，

∴△HAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠AHD＝45°，

∴∠HCE＝90°，

∴CE⊥BC；

（2）①MN2+AC2＝DE2.理由如下：連接AN，CN，如圖2，

∵∠EAD＝∠ECD＝90°，點(diǎn)N是DE中點(diǎn)，

∴AN＝CN＝DE，

∵M為AC的中點(diǎn)，

∴MN⊥AC，AM＝CM＝AC，

∵MN2+CM2＝CN2，

∴MN2+AC2＝DE2；

②如圖3中，由（1）可知∠ECB＝90°，

∴CE⊥BC，

∴當(dāng)ME⊥EC時(shí)，ME的值最小，

在Rt△AHC中，∵AH＝AC＝2，

∴HC＝4，

∵M為AC中點(diǎn)，

∴AM＝MC＝，

在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，

∴EC＝EM＝1，

由（1）可知：△HAD≌△CAE，

∴HD＝EC＝1，

∴CD＝4﹣1＝3，

∴BD＝5﹣3＝2，

∴當(dāng)BD＝2時(shí)，EM的值最小，最小值為1，

故答案為：1.