已知:直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,過(guò)C作CD⊥x軸于D.求:
(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)AD的長(zhǎng);
(3)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(4)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)由直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B,令y=0求出x的值即為A的橫坐標(biāo),令x=0求出y的值即為B的縱坐標(biāo),寫(xiě)出兩點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(2)由三角形ABC為等腰直角三角形,可得AB=AC,∠BAC=90°,根據(jù)平角定義可得∠BAO與∠CAD互余,由直角三角形的兩銳角互余可得∠BAO與∠ABO互余,根據(jù)等角的余角相等可得∠CAD與∠ABO相等,再由一對(duì)直角相等,利用AAS可得出三角形AOB與三角形ACD全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=OB,由B的坐標(biāo)得出OB的長(zhǎng),即為AD的長(zhǎng);
(3)由三角形AOB與三角形ACD全等,得到CD=OA,由A的坐標(biāo)求出OA的長(zhǎng),即為CD的長(zhǎng),即為C的縱坐標(biāo),由OA+AD得出C的橫坐標(biāo),確定出C的坐標(biāo),設(shè)出拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,把A,B及C的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a,b及c的三元一次方程組,求出方程組的解集得到a,b及c的值,即可確定出過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(4)分三種情況考慮:當(dāng)B為等腰三角形BCP的頂角頂點(diǎn)時(shí),以B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與x軸交于兩點(diǎn),由勾股定理求出BC的長(zhǎng),即為BP的長(zhǎng),在直角三角形BOP中,根據(jù)勾股定理求出OP的長(zhǎng),即可確定出P的坐標(biāo);當(dāng)C為等腰直角三角形BCP頂角頂點(diǎn)時(shí),B,C,P在同一條直線上,不合題意;當(dāng)P為等腰三角形頂角頂點(diǎn)時(shí),P為線段BC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn),此時(shí)P與A重合,由A的坐標(biāo)得到此時(shí)P的坐標(biāo),綜上,得到所有滿足題意的P的坐標(biāo).
解答:解:(1)直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B,
令y=0得-2x+2=0,解得:x=1;
令x=0,解得y=2,
∴A(1,0),B(0,2);…(2分)

(2)∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠BAO+∠CAD=90°,
又∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠CAD,
在△ABO和△CAD中,

∵△ABO≌△CAD(AAS),
∴OB=AD=2;…(4分)

(3)∵△ABO≌△CAD,
∴OA=CD=1,AD=OB=2,
∴OD=3,
∴C(3,1),…(5分)
設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,
把三點(diǎn)坐標(biāo)代入得:
解得
;…(7分)

(4)存在3個(gè)點(diǎn)使△BCP為等腰三角形,
①當(dāng)B為頂點(diǎn),BC=BP時(shí),如圖所示:

在直角三角形AOB中,OA=1,OB=2,
根據(jù)勾股定理得:AB==,
∴AC=AB=,又△ABC為等腰直角三角形,
∴BP=BC=,
在直角三角形OBP1中,OP1==
同理OP2=
則P1(-,0),P2,0);
②當(dāng)C為頂點(diǎn),CB=CP時(shí),P3(6,0),
此時(shí)B、C、P 在同一直線上,P3舍去;
③當(dāng)P為頂點(diǎn),PA=PB時(shí),P4為線段BC垂直平分線與x軸的交點(diǎn),
又∵AB=AC,此時(shí)P4與A重合,
則P4(1,0),
綜上,滿足題意的坐標(biāo)為P1(-,0),P2,0),P3(1,0).…(9分)
點(diǎn)評(píng):此題屬于二次函數(shù)的綜合題,涉及的知識(shí)有:一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想,是一道綜合性較強(qiáng)的壓軸題.
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已知:直線y=-2x+4交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C為x軸上一點(diǎn),AC=1,且OC<OA.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C.
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn),當(dāng)銳角∠PDO的正切值是
12
時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,該拋物線上的一點(diǎn)E在x軸下方,當(dāng)△ADE的面積等與四邊形APCE的面積時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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已知:直線y=-2x-2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、E,且點(diǎn)E(6,7)
(1)求拋物線的解析式.
(2)在直線AE的下方的拋物線取一點(diǎn)M使得構(gòu)成的△AME的面積最大,請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)及△AME的最大面積.
(3)若拋物線與x軸另一交點(diǎn)為B點(diǎn),點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)D(1,-3),以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AEB相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:直線y=-2x+2分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B,以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,過(guò)C作CD⊥x軸于D.求:
(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)AD的長(zhǎng);
(3)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(4)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,直線y=2x+3與直線y=-2x-1.
(1)求兩直線交點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求△ABC的面積;
(3)在直線BC上能否找到點(diǎn)P,使得S△APB=6?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知,直線y=-2x+4k與雙曲線y=
kx
交于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),滿足y1+y2=20,那么k的值是
 

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